اگر $\ell\colon (1-i)z+(1-i)\bar{z}$ و $z_1=2+2i$ و $z_2$ بازتاب $z_1$ نسبت به $\ell$ باشد، آنگاه $\bar{z}_1(1+i)+z_2(1-i)$ را بیابید.

Question

فرض کنید که $\ell$، یک خط در صفحه مختلط به معادلهٔ $(1-i){z}+(1+i)\overline{z}=4$ باشد. اگر ${z_2}$ انعکاس نقطهٔ ${z_1} = 2 + 2i$ نسبت به خط مذکور باشد، حاصل عبارت زیر را بیابید.

$$\overline{z_1}(1+i)+z_2(1-i)$$

Comments

به نظرم در معادلهٔ خط $z_1$به $z$ باید تغییر کنه تا معادلهٔ خط داشته باشیم.

---

بعد گذشت نزدیک به یک ماه هیج کسی نظری در رابطه با دیدگاهم نداشت مجبور شدم در خط دو  صورت سوال،فقط $z_1$ به $z$ تغییر دهم.

Answer 1

با فرض $z=x+iy$ داریم $\overline{z}=x-iy$ و در نتیجه

$$(1-i)z+(1+i)\overline{z}=4\Rightarrow x+y=2$$

این خط، محورهای مختصات را در عدد 2 قطع می‌کند. از طرفی قرار دهید $A=(2,2)$ یا همان $z_1$. با رسم یک شکل ساده قرینهٔ $A$ نسبت به خط $\ell$، نقطه مبدأ مختصات بدست می‌آید. یعنی $z_2=0$. بنابراین حاصل عبارت برابر است با

$$\overline{z_1}(1+i)=(2-2i)(1+i)=4$$