حاصل $(1+i) ^{i}$ را بیابید؟

Question

یک عدد مختلط به توان عدد مختلط . حاصل زیر چطوری محاسبه میشه؟!

$$(1+i) ^{i}=?$$

Comments

@admin من سوال رو الان دوبار تغییر دادم و لی نمی دونم چی شده که دوباره برمیگرده به حالت قبل.....وقتی میام بیرون و دوباره میرم که سوال رو ببینم....می بینم که تغییر کرده به حالت قبل.

---

بخاطر این بود که من و شما و @saderi7 همزمان در حال ویرایش سوالتون بودیم!
لطفا با توجه بیشتری سوالاتتونو بپرسید.

---

@erfan013
ادمین سوالو ویرایش کردن . اما شما بازم ویرایش کردید و عنوان خودتونو که مناسب نبود گذاشتید .
منم ویرایش کردم عنوان بهتر گذاشتم !!

---

@saderi7 من نمی دونستم. اگه زحمتی نیست هر سوالی رو که خودتون صلاح می دونین بهتره بزارین. من فکر کردم مشکلی پیش اومده که هی سوال عوض میشه.

---

شما سوال رو می پرسید. اونوقت چطور از کاربران دیگر می خواهید هر سوالی که صلاح می دونن بزارن؟
عنوان اولیه شما این بود: "توان در اعداد مختلط_2"
که فوق العاده بی معنی هست. بعد ویرایش کردید به "حاصل زیر که به توان یه عدد مختلط هست چی میشه؟" که باز هم بی معنی هست. و چندین ویرایش دیگر. و همونطور که دیدید کاربران دیگر بجای اینکه روی سوال متمرکز بشن سعی کردن سوال را ویرایش کنند. پس لطفا همون ابتدا با دقت زیاد سوال رو بپرسید که همچین مشکلاتی پیش نیاد.

Answer 1

ابتدا $z=1+i$ به صورت قطبی بازنویسی میکنیم به شکل توجه کنید :

با توجه به شکل خواهیم داشت :

$$z=1+i =\sqrt{1^2+1^2}\exp(\dfrac{i\pi}{4})=\sqrt{2}\exp(\dfrac{i\pi}{4})$$

---

حال به سوال میپردازیم :

$$(1+i)^i=(\sqrt{2} \exp(\dfrac{i \pi}{4}))^i=\sqrt2^ie^{-\frac{\pi}4}=e^{-\frac{\pi}4}\left(\cos\ln\sqrt2+i\sin\ln\sqrt2\right)$$