حاصل $2 ^{1+i}=?$ را بیابید .

Question

یک عدد به توان عدد مختلط. حاصل زیر چطوری محاسبه میشه؟!

$$2 ^{1+i}=?$$

Comments

لطفا عنوان مناسب بزارید.

Answer 1

تعریف

اگر $z,w$ اعداد مختلط باشند آنگاه تعریف میکنیم :

$$z^w=\exp(w\ln z)=e^{w \ln z}$$

---

فرمول اویلر

برای هر عدد حقیقی $x$ داریم :

$$\exp(ix)=\cos (x)+i\sin (x)$$

---

سوال

حاصل عبارت زیر چیست :

$$2^{1+i}=?$$

از تعریف خواهیم داشت :

$$2^{1+i}=e^{(1+i) \ln 2}=e^{\ln 2} \cdot e^{i\ln 2}$$

میدانیم که $e^{\ln 2}=2$ و با استفاده از فرمول اویلر خواهیم داشت :

$$2^{1+i}=2(\cos (\ln 2) + i\sin (\ln 2))$$