مطابق شکل زیر اگر مماس بر نیمساز عمود باشد پس باید زوایای متمم نیز با هم برابر باشند.
حال با برهان خلف ثابت می کنیم که مماس بر نیمساز عمود است. به شکل زیر دقت کنید:
اگر خط w در نقطه P مماس نباشد، پس باید بیضی را در نقطه دیگری مانند Q قطع کند یعنی
«عبارت1» $QF_{1}+Q F_{2} =PF_{1}+P F_{2} $
پاره خط PF2 را تا نقطه L امتداد می دهیم به نحوی که PL=PF1 شود. زاویه LPQ=QPF1 خواهد شد زیرا زاویه متقابل به راس LPQ برابر زاویه QPF1 است.
در نتیجه دو مثلث PQL و PQF1 همنهشت هستند. پس QL=QF1
بنابر قضیه نامساوی مثلثی
$QL+Q F_{2} >LP+P F_{2} $
به جای PL و QL پاره خط های برابرشان را جایگزین می کنیم.
«عبارت 2» $QF_{1}+Q F_{2} >PF_{1}+P F_{2} $
چون «عبارت 1» و «عبارت 2» با هم تناقض دارند پس فرض ما غلط است و خط w در نقطه P مماس است.
