به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
83 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Mobin Jame (47 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

چرا از یک نقطه روی محیط یک بیضی، تنها یک خط مماس بر همان بیضی می‌گذرد؟

حدس می‌زنم این مطلب با برهان خلف اثبات بشه.

توسط good4us (5,368 امتیاز)
Mobin Jame@ نه تنها روی بیضی بلکه روی منحنی های دیگر نیز اگر بتوانیم خط مماس بزنیم به نظر میرسد در آن نقطه همان یک خط خواهد بود!
توسط mahdiahmadileedari (1,123 امتیاز)
@mobin jam این سوال شما منطق خاصی پشت آن نیست. اگر دلیلی برای حرف تان دارید لطفا بیان کنید.
توسط mort (197 امتیاز)
–1
سلام
در هر نقطه از خم (منحنی) خطی مماس بر آن نقطه می توان گذر داد.

باید ثابت کرد مشتق چپ و راست منحنی در هر نقطه ای برابر است. فرض می کنیم چنین نیست. یعنی شیب خط سمت راست و چپ در یک نقطه در منحنی برابر نیستند. پس نتیجه می گیریم منحنی در آن نقطه شکسته است. به تناقض رسیدیم (تناقض اینست که منحنی همان خط شکسته است.) پس خلاف فرض ثابت شد.
توسط AmirHosein (14,034 امتیاز)
+1
@mort ادعای آورده‌شده در دیدگاه‌تان نادرست است. ابتدا توجه کنید که یک زیرمجموعه از $\mathbb{R}^n$ را خم می‌گوئیم هر گاه دارای بعد ۱ باشد. بیاییم خیلی خاص‌تر صحبت کنیم. یک چندجمله‌ای دو متغیره مانند $f$ در نظر بگیرید. مجموعهٔ تمام نقطه‌های $(x,y)$ای که در $f$ صدق کنند یعنی پس از جایگذاری حاصل صفر شود، یک خم می‌شود. اکنون خم $y^2-x^2-x^3$ را در نظر بگیرید. در نقطهٔ $(0,0)$ دو خط مماس دارد. حتی اگر برای تابع شدن قسمت زیر محور $x$های این خم را حذف کنید، هنوز در نقطهٔ $(0,0)$ دارای دو خط مماس است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (14,034 امتیاز)

این گزاره که هر خمی در هر نقطه‌اش تنها یک خط مماس دارد نادرست است. گزارهٔ درست «هر خم همواری در هر نقطه‌اش تنها یک خط مماس دارد» است. «هموار» یعنی چه؟ یعنی بدون نقطهٔ تکینگی. به هر حال بحث این پست نیاز به توضیح بیشتر پیرامون هر خم دلخواه و تعریف تکینگی و خم و غیره ندارد چون در مورد بیضی‌ها است. صرفا برای اینکه ابهامی که ممکن است کاربران بیشتری هم داشته‌باشند، یک نمونه خم که در نقطه‌ای دارای بیش از یک خط مماس است می‌آوریم. خم زیر یک خم خیلی ساده و نامی (مشهور) برای چنین ویژگی‌ای است. به آن خمِ آلفا نیز می‌گویند به خاطر اینکه شکلش شبیه به حرف یونانیِ آلفا $\alpha$ است. شکل آن در زیر آورده شده‌است که با نرم‌افزار Maple کشیده شده‌است.

plots:-implicitplot(y^2-x^2-x^3=0,x=-5..5,y=-5..5,'color'='blue',view=[-5..5,-5..5]);

توضیحات تصویر

برابریِ تعریف‌کنندهٔ این خم $y^2=x^2+x^3$ است. برای شیب خط مماس در یک نقطه به محاسبهٔ زیر نگاه کنید.

\begin{align} y^2=x^2+x^3 &\Longrightarrow 2yy'_x=2x+3x^2\\ &\Longrightarrow y'_x=\frac{2x+3x^2}{2y} \end{align}

توجه کنید که شیب یعنی $y'_x$ به شکل یک تابع دومتغیره داده شده‌است یعنی ورودیِ آن $(x,y)$ است نه فقط $x$. برای هر نقطهٔ $(x_0,y_0)$ که در برابریِ $y^2=x^2+x^3$ صدق کنند (یعنی بر روی خم هستند) شما یک مقدارِ یکتا از $\mathbb{R}\cup\lbrace\pm\infty\rbrace$ برای خروجیِ $y'_x$ خواهید داشت به جز برای $(0,0)$. در اینجا به $\frac{0}{0}$ برمی‌خورید که مبهم است و نیاز به رفع ابهام دارد.

\begin{align} \lim_{(x,y)\to (0,0)}y'_x &= \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{2x+3x^2}{2y}\\ &= \lim_{x\to 0}\frac{2x+3x^2}{2(\pm\sqrt{x^2+x^3})}\\ & \sim \lim_{x\to 0}\pm\frac{2x}{2|x|}\\ & =\pm 1 \end{align}

چرا مثبت‌منها برای نقطه‌های دیگر رخ نمی‌دهد؟ پاسخ روشن است، چون برای نقطه‌های دیگرِ روی خم، نقطه فقط به بخش بالاییِ خم یا به بخش پائینیِ خم تعلق دارد که در بالا $y$ فقط مقدار مثبت پذیرفته است و در پائین تنها مقدار منفی برای $y$ پذیرفته است. از روی شکل نیز می‌بینید که دقیقا دو خط مماس بر این خم در نقطهٔ $(0,0)$ می‌توانید بکشید که یکی نیمساز یک‌چهارمِ یکُم و سوم است و دیگری نیمساز یک‌چهارمِ دوم و چهارم.

اما برویم سراغ پرسش اصلی. بدون کاستن از کلیت می‌توانید فرض کنید بیضی‌تان مرکزش مبدأ مختصات است و یکی از دو حالت افقی یا عمودی است. چون جابجایی (انتقال) و چرخش (دوران) تغییری روی تعداد خط‌‌های مماس بر نقطه‌های منحنی ایجاد نمی‌کند و دقیقا همان جابجایی و چرخش بر روی آنها هم صورت می‌گیرد. پس فرض کنید برابری‌ای که بیضی‌تان را تعریف می‌کند $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ است. محاسبه‌های یکسانی با بالا را در اینجا نیز انجام می‌دهیم.

\begin{align} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 &\Longrightarrow \frac{2}{a^2}x+\frac{2}{b^2}yy'_x=0\\ &\Longrightarrow y'_x=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y} \end{align}

توجه کنید که برای هر نقطهٔ $(x_0,y_0)$ به جز $(0,0)$ یک مقدار یکتا از $\mathbb{R}\cup\lbrace\pm\infty\rbrace$ به شما می‌دهد و خوشبختانه این نقطهٔ $(0,0)$ عضو بیضی نیست چون در برابری‌مان صدق نمی‌کند. پس چون مقدار شیب خط مماس در هر نقطه یک عدد یکتا می‌شود، یک خط مماس هم بیشتر نداریم.

توسط mahdiahmadileedari (1,123 امتیاز)
AmirHosein@بابت توضیح کاملتون ممنونم.بنده کاملا نظر شما را داشتم. اما در نوشتن فرمول ها دچار مشکل شده بودم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...