به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
322 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط aminahmahmadi (6 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

چگونه می‌شود با داشتن مرکز و شعاع دایره‌های مشکی‌رنگ در شکل زیر، شعاع و مرکز دایرهٔ سبزرنگ را بدست آورد؟

تمامی دایره‌هایی که در شکل با هم برخورد دارند برهم مماس هستند و برای ساده‌سازی مرکز دایرهٔ بزرگتر روی مبدأ مختصات و مرکز دایره سمت راست روی محور $x$ها قرار داده شده است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (18,537 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

نیازی به مبدأ گرفتن مرکز دایرهٔ بزرگ نیست، محاسبات پیچیده‌ای این پرسش نیاز ندارد. فرض می‌کنیم که مشخصات دایرهٔ بزرگ که من با $C_0$ به آن اشاره می‌کنم و سه دایرهٔ مشکی‌رنگ درون آن که از پائین به بالا آنها را $C_1$، $C_2$ و $C_3$ می‌نامیم را داریم. دایرهٔ خواسته‌شده را $C_4$ بنامید. مرکز هز دایره و شعاعش را به ترتیب با $O_i=(x_i,y_i)$ و $R_i$ نشان دهید. یک دستگاه از برابری‌ها و نابرابری‌ها می‌سازیم با مجهول‌های $R_4$، $x_4$ و $y_4$ که مجموعه‌پاسخ‌های آن متناظر با حالت‌های ممکن برای مشخصات دایرهٔ خواسته‌شده باشد. نخست اینکه باید $R_4>0$ باشد. از درون مماس بر $C_0$ بودن هم‌ارز است با اینکه $R_4\leq R_0$ و $R_0-R_4=\overline{O_0O_4}$. از بیرون مماس بودن بر $C_1$ هم‌ارز با این است که $R_1+R_4=\overline{O_1O_4}$. همینگونه برای $C_3$. از بیرون مماس نبودن بر $C_2$ هم‌ارز است با $R_2+R_4\gneqq\overline{O_2O_4}$. پس دستگاه زیر با سه نابرابری و سه برابری و سه مجهول را داریم. $$\left\lbrace\begin{array}{l} 0< R_4\leq R_0\\ R_0-R_4=\sqrt{(x_0-x_4)^2+(y_0-y_4)^2}\\ R_1+R_4=\sqrt{(x_1-x_4)^2+(y_1-y_4)^2}\\ R_3+R_4=\sqrt{(x_3-x_4)^2+(y_3-y_4)^2}\\ R_2+R_4>\sqrt{(x_2-x_4)^2+(y_2-y_4)^2} \end{array}\right.$$ برای نمونه شکل زیر را در نظر بگیرید. چون داده‌های شکل خودتان را نداده‌اید من خودم یک نمونه ساختم. دایرهٔ $C_0$ را دایره‌ای به مرکز مبدأ و شعاع ۵ گرفته‌ایم. سپس دایرهٔ $C_2$ را دایره‌ای به مرکز $(\frac{7}{2},0)$ و شعاع $\frac{3}{2}$ انتخاب کردیم. برای انتخاب دایرهٔ $C_3$ خودمان فرض کردیم شعاع دایره $\frac{5}{2}$ باشد و از داخل به دایرهٔ بزرگ و از بیرون به دایرهٔ دوم مماس باشد که با حل دستگاه زیر می‌توان مختصات مرکز آن را بدست آورد. $$\left\lbrace\begin{array}{l} x^2+y^2=(5-\frac{5}{2})^2\\ (x-\frac{7}{2})^2+y^2=(\frac{3}{2}+\frac{5}{2})^2 \end{array}\right.$$ این دستگاه دو پاسخ دارد با یک طول و دو عرض (قرینه) که ما نقطهٔ بالایی را انتخاب می‌کنیم. به همین روش دایرهٔ سوم را می‌یابیم که شعاع آن را $2$ واحد فرض کرده‌ایم.

اکنون دستگاهی که برای یافتن اندازهٔ شعاع و جای مرکز دایرهٔ چهارم نیاز به حل‌کردن داریم را می‌نویسیم. $$\left\lbrace\begin{array}{l} 0< r\leq 5\\ x^2+y^2=(5-r)^2\\ (x-\frac{9}{7})^2+(y-(-\frac{6\sqrt{10}}{7}))^2=(2+r)^2\\ (x-\frac{5}{14})^2+(y-\frac{10\sqrt{3}}{7})^2=(\frac{5}{2}+r)^2\\ (x-\frac{7}{2})^2+y^2>(\frac{3}{2}+r)^2 \end{array}\right.$$ که یک پاسخ یکتا دارد. $$x=-\frac{2010\sqrt{30}}{5383}-\frac{5795}{10766},\;y=-\frac{5010\sqrt{10}+5560\sqrt{3}}{5383},\;r=\frac{150\sqrt{30}}{769}+\frac{1695}{1538}$$ که تا چند رقم اعشار برابر هستند با $$x=-2.583452239,\;y=-1.154153555,\;r=2.170460125$$ در زیر این دایره را با رنگ آبی نشان داده‌ایم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...