یافتن مشخصات دایرهای که از دورن بر یک دایرهٔ بزرگتر مماس است و با دو دایرهٔ دیگر که آنها هم از دورن بر همان دایرهٔ بزرگتر مماس هستند نیز مماس باشد.

Question

چگونه می‌شود با داشتن مرکز و شعاع دایره‌های مشکی‌رنگ در شکل زیر، شعاع و مرکز دایرهٔ سبزرنگ را بدست آورد؟

تمامی دایره‌هایی که در شکل با هم برخورد دارند برهم مماس هستند و برای ساده‌سازی مرکز دایرهٔ بزرگتر روی مبدأ مختصات و مرکز دایره سمت راست روی محور $x$ها قرار داده شده است.

Answer 1

نیازی به مبدأ گرفتن مرکز دایرهٔ بزرگ نیست، محاسبات پیچیده‌ای این پرسش نیاز ندارد. فرض می‌کنیم که مشخصات دایرهٔ بزرگ که من با $C_0$ به آن اشاره می‌کنم و سه دایرهٔ مشکی‌رنگ درون آن که از پائین به بالا آنها را $C_1$، $C_2$ و $C_3$ می‌نامیم را داریم. دایرهٔ خواسته‌شده را $C_4$ بنامید. مرکز هز دایره و شعاعش را به ترتیب با $O_i=(x_i,y_i)$ و $R_i$ نشان دهید. یک دستگاه از برابری‌ها و نابرابری‌ها می‌سازیم با مجهول‌های $R_4$، $x_4$ و $y_4$ که مجموعه‌پاسخ‌های آن متناظر با حالت‌های ممکن برای مشخصات دایرهٔ خواسته‌شده باشد. نخست اینکه باید $R_4>0$ باشد. از درون مماس بر $C_0$ بودن هم‌ارز است با اینکه $R_4\leq R_0$ و $R_0-R_4=\overline{O_0O_4}$. از بیرون مماس بودن بر $C_1$ هم‌ارز با این است که $R_1+R_4=\overline{O_1O_4}$. همینگونه برای $C_3$. از بیرون مماس نبودن بر $C_2$ هم‌ارز است با $R_2+R_4\gneqq\overline{O_2O_4}$. پس دستگاه زیر با سه نابرابری و سه برابری و سه مجهول را داریم. $$\left\lbrace\begin{array}{l} 0< R_4\leq R_0\\ R_0-R_4=\sqrt{(x_0-x_4)^2+(y_0-y_4)^2}\\ R_1+R_4=\sqrt{(x_1-x_4)^2+(y_1-y_4)^2}\\ R_3+R_4=\sqrt{(x_3-x_4)^2+(y_3-y_4)^2}\\ R_2+R_4>\sqrt{(x_2-x_4)^2+(y_2-y_4)^2} \end{array}\right.$$ برای نمونه شکل زیر را در نظر بگیرید. چون داده‌های شکل خودتان را نداده‌اید من خودم یک نمونه ساختم. دایرهٔ $C_0$ را دایره‌ای به مرکز مبدأ و شعاع ۵ گرفته‌ایم. سپس دایرهٔ $C_2$ را دایره‌ای به مرکز $(\frac{7}{2},0)$ و شعاع $\frac{3}{2}$ انتخاب کردیم. برای انتخاب دایرهٔ $C_3$ خودمان فرض کردیم شعاع دایره $\frac{5}{2}$ باشد و از داخل به دایرهٔ بزرگ و از بیرون به دایرهٔ دوم مماس باشد که با حل دستگاه زیر می‌توان مختصات مرکز آن را بدست آورد. $$\left\lbrace\begin{array}{l} x^2+y^2=(5-\frac{5}{2})^2\\ (x-\frac{7}{2})^2+y^2=(\frac{3}{2}+\frac{5}{2})^2 \end{array}\right.$$ این دستگاه دو پاسخ دارد با یک طول و دو عرض (قرینه) که ما نقطهٔ بالایی را انتخاب می‌کنیم. به همین روش دایرهٔ سوم را می‌یابیم که شعاع آن را $2$ واحد فرض کرده‌ایم.

اکنون دستگاهی که برای یافتن اندازهٔ شعاع و جای مرکز دایرهٔ چهارم نیاز به حل‌کردن داریم را می‌نویسیم. $$\left\lbrace\begin{array}{l} 0< r\leq 5\\ x^2+y^2=(5-r)^2\\ (x-\frac{9}{7})^2+(y-(-\frac{6\sqrt{10}}{7}))^2=(2+r)^2\\ (x-\frac{5}{14})^2+(y-\frac{10\sqrt{3}}{7})^2=(\frac{5}{2}+r)^2\\ (x-\frac{7}{2})^2+y^2>(\frac{3}{2}+r)^2 \end{array}\right.$$ که یک پاسخ یکتا دارد. $$x=-\frac{2010\sqrt{30}}{5383}-\frac{5795}{10766},\;y=-\frac{5010\sqrt{10}+5560\sqrt{3}}{5383},\;r=\frac{150\sqrt{30}}{769}+\frac{1695}{1538}$$ که تا چند رقم اعشار برابر هستند با $$x=-2.583452239,\;y=-1.154153555,\;r=2.170460125$$ در زیر این دایره را با رنگ آبی نشان داده‌ایم.