طول خطالمرکزین دو دایره با شعاعهای ۳ و ۵ برابر ۱۰ واحد است. فاصلهی محل برخورد دو مماس مشترک خارجی آنها تا مرکز دایرهی کوچکتر را محاسبه میکنیم.
مراحل حل:
تعیین مختصات مراکز:
- مرکز دایره کوچکتر ($$O_1$$) را در $$(0,0)$$ و مرکز دایره بزرگتر ($$O_2$$) را در $$(10,0)$$ قرار میدهیم.
معادلهی مماسهای مشترک خارجی:
- معادلهی خط مماس بر دایره کوچک (شعاع ۳) به صورت $$y = mx + c$$ است. شرط مماس بودن:
$$
\frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3 \quad \Rightarrow \quad |c| = 3\sqrt{m^2 + 1}
$$
- همین خط باید بر دایره بزرگ (شعاع ۵) نیز مماس باشد:
$$
\frac{|10m + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 5
$$
حل معادلات:
- با جایگذاری $$c = 3\sqrt{m^2 + 1}$$ در معادله دوم:
$$
|10m + 3\sqrt{m^2 + 1}| = 5\sqrt{m^2 + 1}
$$
- با حل این معادله، شیب خطها $$m = \pm\frac{\sqrt{6}}{12}$$ و عرض از مبدأ $$c = \frac{5\sqrt{6}}{4}$$ بهدست میآید.
نقطهی برخورد مماسها:
- معادلات دو مماس خارجی:
$$
y = \frac{\sqrt{6}}{12}x + \frac{5\sqrt{6}}{4} \quad \text{و} \quad y = -\frac{\sqrt{6}}{12}x + \frac{5\sqrt{6}}{4}
$$
- نقطهی تقاطع این دو خط در $$S(0, \frac{5\sqrt{6}}{4})$$ قرار دارد.
محاسبهی فاصله:
- فاصلهی $$S$$ از مرکز دایره کوچک ($$O_1$$):
$$
\text{فاصله} = \sqrt{0^2 + \left(\frac{5\sqrt{6}}{4}\right)^2} = \frac{5\sqrt{6}}{4}
$$
پاسخ نهایی:
فاصلهی محل برخورد مماسهای مشترک خارجی تا مرکز دایرهی کوچکتر برابر است با:
$$
\boxed{\dfrac{5\sqrt{6}}{4}}
$$
