Question

در مثلثی به طول اضلاع ۵، ۵ و ۶ واحد، O محل برخورد عمود منصف ها می باشد. فاصله ی O از بزرگترین ضلع مثلث چقدر است؟

Answer 1

به نام خدا.

مثلث ABC را در نظر بگیرید طوری که داشته یاشیم:

$AB=5,AC=5,BC=6$

محیط مثلث را می دانیم. پس مساحت آن را هم بدست می آوریم:

$SABC= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

که جواب می شود ۱۲

مساحت مثلث را به فرمی دیگر بنویسید:(برحسب شعاع دایره محیطی)

$ \frac{abc}{4R} =12 \Longrightarrow R= \frac{25}{8}$

پس خواهیم داشت:«H پای عمود o بر BC است»

$OH^2+BH^2= %%MATH_DISPLAY_0%%\sqrt{ (\frac{25}{8})^2-9}$= $\frac{7}{8}$

Answer 2

مثلث ABC مفروض است ؛ از نقطه همرسی عمود منصف ها به راس B پاره‌خطی رسم ‌می‌کنیم با نام OB و پای‌عمود عمودمنصف ضلع BC را H می‌نامیم بطوری که HC = 3 . حال مثلث بوجود آمده OBH را نگاه کنید ( زاویه H = 90 ، BH = 3 ، OH ، OB ) در نتیجه‌ی زاویه H متوجه میشویم مثلث ما قائم‌الزاویه است ؛ پس میتوانیم رابطه فیثاغورس را برای اضلاع این مثلث بکار ببریم : OH² + BH² = OB² \Longrightarrow OH² = BO² - 9 خب حال یک معادله داریم و دو مجهول پس به دنبال رابطه و معادله دیگری میگردیم تا بتوانیم با معادله های خود یک دستگاه بسازیم و حل کنیم ؛ خب ما میدانیم در مثلث AHB : ( H = 90 ، HB = 3 ، AB = 5 ) خب متوجه‌ایم که این مثلث یک گثلث قائن الزاویه است و دارای اضلاع معروف فیثاغورسی ۳ ، ۵ پس ضلع دیگر ما با توحه به رابطه فیثاغورس ۴ = AH است . حال عمو منصف ضلع AB را مینگریم و با توجه به قضیه فاصله نقطه روی عمود منصف با دو ضلع AO = OB . خب میدانیم که پاره خط AO + OH = AH = 4 حال می آییم و AO را بصورت ۴ منهای OH مینویسیم پس : 4 - OH = OB OH² = BO² - 9
حال اگر این دستگاه را حل کنید به جواب : 7/8 خواهید رسید . دوستان بنده عذرخواهی میکنم که از علامت های ریاضی استفاده نکرده بودم اولین بار بود که با این ابزار کار میکردم .