Question

قطرهای مربع $ABCD$ همدیگر در نقطه $O$ قطع می کنند. نیمَساز زاویه $ABD$قطر $AC$ در نقطه $E$ و ضلع $AD$ در نقطه $F$ قطع می کند اگر $OE=14$، طول $DF$ را بیابید

Answer 1

با سلام

می دانیم که در مربع ، قطرها با هم برابرند ، بر هم عمودند ، یکدیگر را نصف می کنند و نیمساز زوایا هستند.

$ \triangle DBG: \alpha =22.5 \beta =135 \Rightarrow \gamma =22.5 \Rightarrow DG=DB=2OB $

همچنین مثلث های زیر ( بنا به حالت دو زاویه برابر ) با هم متشابه هستند.

$ \triangle OEB \sim \triangle DFG \Rightarrow \frac{OE}{DF} = \frac{OB}{DG} \Rightarrow \frac{14}{DF} = \frac{OB}{2OB} \Rightarrow DF=2 \times 14=28 $

Answer 2

$x+14= \sqrt{2}x \Rightarrow \color{blue}{x=14\sqrt{2}+14} $

با توجه به تعمیم قضیه تالس در مثلث $BAF$

$ \frac{14}{y}= \frac{x}{x+14} $

با جایگزینی $x$

$\color{blue}{y=14 \sqrt{2}} $

در نتیجه $\color{red}{DF=x+14-y=28}$