به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
212 بازدید
در دبیرستان توسط Ms181381

سلام ثابت کنید در هر مثلث مختلف الاضلاع عمود منصف یک ضلع و نیمساز زاویه مقابل به آن همدیگر را روی دایره محیطی مثلث قطع میکنند

توسط MSS
+1
چون هم نیمساز و هم عمود منصف کمان روبروی خود را نصف می کنند

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط salar

enter image description here

اگر نیمساز $BAC$ را رسم کنیم، که دایره را در $E$ قطع میکند. داریم:

$$ \hat{BAC}=2 \theta \\ \hat{BAE}=\hat{EAC}=\frac{\hat{BAC}}{2}=\theta \\ \Rightarrow \frown BE=2 \theta=\frown EC \Rightarrow \\ \frown BE+ \frown EC=2 \frown BE=2 \frown EC=\frown BC $$

$(1$ پس $E$ وسط کمان $BC$ میباشد.

اگر عمود منصف را رسم کنیم، که دایره را در $F$ و ضلع $BC$ را در $H$ قطع میکند.

در نتیجه دو مثلث $BHF$ و $CHF$ بنا بر حالت (ض،ز،ض) همنهشتند، پس:

$$ \frac{\frown FC}{2} =\hat{FBC}=\hat{BCF}= \frac{\frown BF}{2} \\ \Rightarrow \frac{\frown BF}{2}+ \frac{ \frown FC}{2}= 2 \frac{ \frown BF}{2}= \frac{ \frown BC}{2} $$

$2($ پس $F$ وسط کمان $BC$ است.

از $1$ و $2$ نتیجه میشود که:

چون $F$ و $E$ هر دو در وسط کمان $BC$ هستند پس بر هم منطبق میشوند، و چون $F$ روی عمود منصف و $E$ روی نیمساز هستند و $F$ و $E$ هر دو روی دایره هستند، پس نیمساز و عمود منصف هر دو همدیگر را روی دایره محیطی مثلث قطع میکنند.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...