اگر نیمساز $BAC$ را رسم کنیم، که دایره را در $E$ قطع میکند. داریم:
$$ \hat{BAC}=2 \theta \\ \hat{BAE}=\hat{EAC}=\frac{\hat{BAC}}{2}=\theta \\ \Rightarrow \frown BE=2 \theta=\frown EC \Rightarrow \\ \frown BE+ \frown EC=2 \frown BE=2 \frown EC=\frown BC $$
$(1$ پس $E$ وسط کمان $BC$ میباشد.
اگر عمود منصف را رسم کنیم، که دایره را در $F$ و ضلع $BC$ را در $H$ قطع میکند.
در نتیجه دو مثلث $BHF$ و $CHF$ بنا بر حالت (ض،ز،ض) همنهشتند، پس:
$$ \frac{\frown FC}{2} =\hat{FBC}=\hat{BCF}= \frac{\frown BF}{2} \\ \Rightarrow \frac{\frown BF}{2}+ \frac{ \frown FC}{2}= 2 \frac{ \frown BF}{2}= \frac{ \frown BC}{2} $$
$2($ پس $F$ وسط کمان $BC$ است.
از $1$ و $2$ نتیجه میشود که:
چون $F$ و $E$ هر دو در وسط کمان $BC$ هستند پس بر هم منطبق میشوند، و چون $F$ روی عمود منصف و $E$ روی نیمساز هستند و $F$ و $E$ هر دو روی دایره هستند، پس نیمساز و عمود منصف هر دو همدیگر را روی دایره محیطی مثلث قطع میکنند.
