به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
75 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

در مثلث ABC نقاط M و N به ترتیب روی اضلاع AC و AB قرار دارند و O نقطه ی برخورد BM و CN است.با فرض اینکه مساحت مثلث های AMN و MOC و NOB به ترتیب 5 و 3 و 8 باشد ، مساحت مثلث های MON و BOC را محاسبه کنید

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

enter image description here

بنابر شکل $NH$ ارتفاع مثلث های $BON$و $MON$ است لذا $\frac{S_{BON}}{S_{OMN}}=\frac{BO}{OM}$ از طرفی $CH'$ ارفاع مثلث های $BOC$و $COM$ است لذا $\frac{S_{BOC}}{S_{COM}}=\frac{BO}{OM}$

بنابراین از دو تساوی بالا داریم $$\frac{S_{BON}}{S_{OMN}}=\frac{S_{BOC}}{S_{COM}}\tag{*}\label{*}$$

بنابر فرضیات مساله $\frac{8}{S_{OMN}}=\frac{S_{BOC}}{3}$ یعنی $S_{OMN}\times S_{BOC}=24$

اما ارتفاع های مثلث های $ANM$و $BNM$ برابر هستند( ارتفاعی که از راس $M$ بر $AN$ وارد می شود.) بنابراین $\frac{S_{ANM}}{S_{BNM}}=\frac{AN}{BN}$

و همینطور ارتفاع مثلث های $ANC$ و $BNC$ یکی است(ارتفاعی که از $C$ بر $AB$ وارد می شود) بنابراین $\frac{S_{ANC}}{S_{BNC}}=\frac{AN}{BN}$ و این یعنی $$\frac{S_{ANM}}{S_{BNM}}=\frac{S_{ANC}}{S_{BNC}}\tag{**}$$ و یا بطور معادل $\frac{5}{8+S_{OMN}}=\frac{3+S_{OMN}+5}{8+S_{OBC}}$

با استفاده از $\eqref{*}$ و چاگذاری در تساوی بالا و طرفین وسطین و حل معادله باید به جواب برسید.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...