پیدا کردن رابطه جبری دایره ای محاط و مماس بر هر سه ضلع مثلث منحنی الخط

Question

پاره خط راست AB و کمان های دایره ای BC, AC ، مثلث منحنی الخط ABC را تشکیل داده اند. مرکز این دو کمان ، یکی در A و دیگری در B قرار دارد و هر یک از این دو دایره از مرکز دیگری می گذرد. در این مثلث منحنی الخط، دایره ای محاط کنید که بر هر سه ضلع آن مماس باشد. این رابطه y=a- \sqrt{x^2+y^2} چطور بدست اومده؟ واضح توضیح بدین با رسم شکل

Answer 1

روش پولیا

فعلا کمان AC در نظر نمی گیرم. ابتدا مکان هندسی مراکز دایره هایی که بر پاره خط AB به طول A و کمان AC. مماس هستند پیدا می کنیم. مختصات مرکز دایره مماسی را $O=(x, y) $ نظر می گیریم در نتیجه شعاع آن r=y می باشه، بنابراین

$$R=AO+r \Rightarrow y=a-\sqrt{x^2 +y^2} $$ که مکان هندسی معادله سهمی زیر می باشه. $$x^2 =a^2 - 2ay $$

حال می توان برای جواب سوال، کمان AC رسم کرد در این صورت خواهیم داشت $$x= \frac{a}{2} \Rightarrow y= \frac{3a}{8} $$