Question

مثلث ABC محاط در دایره O مفروض است ارتفاعاتBB1 و CC1 در H متقاطعند. اگر BC ثابت و نقطه A بر روی کمان BAC حرکت کند مکان نقطه H را تعیین کنید. تلاش من چهارضلعی AB1HC1 محاطی است. از طرفی زاویه A همواره مقداریست ثابت برابر نصف کمان روبرو. لذا زاویه H همواره مقداریست ثابت برابر با 180-BC/2

Answer 1

محل برخورد $BB_1$ و $CC_1$ را $H$ می‌نامیم. ($H$ مرکز ارتفاعی $\triangle ABC$ است.) بدیهی است که :

$$AH \perp BC$$

و

$$AH = 2R \cos A$$

با توجه به این دو نکته $H$ روی دایره ای به شعاع $R$ (شعاع دایره محیطی $\triangle ABC$)‌ و مرکز $O'$ که انتقال یافته $O$ تحت بردار $ \overrightarrow{AH}$ است. ( این دایره از نقاط $B$ و $C$ نیز می‌گذرد)

اثبات اندازه $AH$ :

در $\triangle AHB$ با نوشتن قانون سینوس ها داریم :

\begin{align} \frac{AH}{\sin 90 - A}&=\frac c{\sin A+B}\ \frac{AH}{\cos A}&=\frac c{\sin C}\ \Rightarrow AH &= 2R\cos A \end{align}