Question

ثابت کنید اگر میانه AM از مثلث ABC با اضلاع AB و AC زوایای $ \alpha $ و$ \beta $ و با ضلع BC

زاویه $ \gamma $ تشکیل دهد در این صورت :

$ \frac{2}{tan \gamma } = \frac{1}{tan \alpha } - \frac{1}{tan \beta } $

Comments

در مثلث ABC یک عمود از B بر میانه AM و یک عمود بر راستای AM وارد کرده و آنها را به ترتیب' B و 'C می‌نامیم داریم:

$tan \gamma = \frac{BB'}{MB'} = \frac{CC'}{MC'} $

$tan \alpha = \frac{BB'}{AB'}  و tan  \beta = \frac{CC'}{AC'} $

'BB'=CC و

 'MB'=MC

$ \frac{1}{tan \beta } - \frac{1}{tan \alpha } = \frac{AC'}{CC'} - \frac{AB'}{BB'} = \frac{AC'-AB'}{BB'} =2 \frac{MM'}{BB'} = \frac{2}{tan \gamma } $

Answer 1

فرض کنید مثلث ما $ABC$ باشد بطوریکه:

$$BM=MC, \angle BAM= \alpha , \angle CAM= \beta , \angle AMC= \gamma = \pi - \angle BMA$$

$$,AB=c,AC=b,BC=a,AM=m$$

بنا به قضیه کسینوس‌ها و سینوس‌ها داریم:

$$b^2=m^2+ \frac{a^2}{4}-amcos \gamma ,c^2=m^2+\frac{a^2}{4}-amcos(\pi- \gamma )=m^2+\frac{a^2}{4}+amcos \gamma $$

$$ \Rightarrow c^2-b^2=2amcos \gamma $$

$$cos \alpha= \frac{ \frac{a^2}{4}-c^2-m^2}{2cm},coc \beta = \frac{ \frac{a^2}{4}-b^2-m^2}{2bm},sin \alpha = \frac{asin \gamma }{2c},sin \beta =\frac{asin \gamma }{2b}$$

از چیدمان این نتایج به راحتی به دست می آید:

$$2cot \gamma=cot \alpha -cot \beta$$

$\Box$