شرایط مسئله
- $\angle A = 12^\circ$، $\angle C = 132^\circ$، بنابراین $\angle B = 36^\circ$ است.
- M نقطهای است که نیمساز خارجی زاویه B، خط AC را قطع میکند.
- N نقطهای است که نیمساز خارجی زاویه C، خط AB را قطع میکند.
۱. طول BM (از مثلث ABM)
- در رأس B، نیمساز خارجی با ضلع BA زاویه داخلی $\angle ABM = 90^\circ + \frac{B}{2} = 108^\circ$ را تشکیل میدهد.
- از آنجایی که M بر روی امتداد AC از سمت C قرار دارد (زیرا در اینجا $AB > BC$ است)، داریم $\angle BAM = \angle A = 12^\circ$.
- بنابراین $\angle AMB = 180^\circ - (108^\circ + 12^\circ) = 60^\circ$.
- طبق قضیه سینوسها در مثلث ABM:
$$ \frac{BM}{\sin 12^\circ} = \frac{AB}{\sin 60^\circ} \implies BM = AB \cdot \frac{\sin 12^\circ}{\sin 60^\circ}. $$
۲. طول CN (از مثلث CBN)
- در رأس C، نیمساز خارجی با ضلع CB زاویهای برابر با $90^\circ - \frac{C}{2} = 24^\circ$ میسازد، بنابراین $\angle BCN = 24^\circ$ است.
- از آنجا که N بر روی امتداد AB قرار دارد، داریم $\angle CBN = 180^\circ - B = 144^\circ$.
- در نتیجه $\angle CNB = 180^\circ - (144^\circ + 24^\circ) = 12^\circ$.
- طبق قضیه سینوسها در مثلث CBN:
$$ \frac{CN}{\sin 144^\circ} = \frac{BC}{\sin 12^\circ} \implies CN = BC \cdot \frac{\sin 144^\circ}{\sin 12^\circ} = BC \cdot \frac{\sin 36^\circ}{\sin 12^\circ}. $$
۳. مقایسه BM و CN
با استفاده از قضیه سینوسها در مثلث ABC، داریم:
$$ \frac{AB}{BC} = \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{\sin 132^\circ}{\sin 12^\circ} = \frac{\sin 48^\circ}{\sin 12^\circ}. $$
بنابراین:
- $BM = AB \cdot \frac{\sin 12^\circ}{\sin 60^\circ} = \left(BC \cdot \frac{\sin 48^\circ}{\sin 12^\circ}\right) \cdot \frac{\sin 12^\circ}{\sin 60^\circ} = BC \cdot \frac{\sin 48^\circ}{\sin 60^\circ}.$
- $CN = BC \cdot \frac{\sin 36^\circ}{\sin 12^\circ}.$
در نتیجه:
$$ \frac{BM}{CN} = \frac{\left[\frac{\sin 48^\circ}{\sin 60^\circ}\right]}{\left[\frac{\sin 36^\circ}{\sin 12^\circ}\right]} = \frac{\sin 48^\circ \cdot \sin 12^\circ}{\sin 60^\circ \cdot \sin 36^\circ} \approx \frac{0.155}{0.510} \approx 0.304 \neq 1. $$
پس $BM \neq CN$.
آنچه درست (و زیبا) است: CN = CA
از بخش (۲) داریم:
* $CN = BC \cdot \frac{\sin 36^\circ}{\sin 12^\circ}.$
با استفاده از شعاع دایره محیطی (R) مثلث ABC، داریم $BC = 2R \sin A = 2R \sin 12^\circ$، بنابراین:
* $CN = (2R \sin 12^\circ) \cdot \frac{\sin 36^\circ}{\sin 12^\circ} = 2R \sin 36^\circ.$
اما وتر AC در دایره محیطی، روبروی کمانی با زاویه مرکزی $2\angle B = 72^\circ$ قرار دارد، پس:
* $AC = 2R \sin\left(\frac{72^\circ}{2}\right) = 2R \sin 36^\circ.$
بنابراین دقیقاً $CN = AC$ است. به عبارت دیگر، مثلث ACN متساویالساقین است که در آن $CA=CN$ (زوایای قاعده آن در A و N هر دو ۱۲ درجه هستند).
نکته اضافی: از بخش (۱) همچنین دریافتیم که $\angle AMB = 60^\circ$ است.
اگر صورت مسئله به شکل متفاوتی در نظر گرفته شده بود (مثلاً یک نیمساز داخلی و یک نیمساز خارجی)، ممکن بود تساوی برقرار باشد؛ اما برای شرایط داده شده، $BM = CN$ برقرار نیست، در حالی که $CN = CA$ برقرار است.
