افراز صفحه با توجه به اینکه چند مماس یا چند عمود از یک نقطه می‌توان بر یک سهمی رسم کرد.

Question

يك نقطه نسبت به سهمي سه حالت داريد يا درون يابيرون يا روي سهمي قرار دارد... حال اگر نقطه بيرون سهمي باشد چند مماس وچند قائم ميتوان رسم كرد...واگرنقطه رويسهمي باشد چند مماس وچند قائم ميتوان رسم كرد..واگر داخل سهمي باشد چند مماس وچند قائم ميتوان رسم كرد

Comments

به نظر من بهتر می‌بود چگونه حل کردنِ چنین پرسشی را می‌پرسیدید و سپس با روشی که یاد می‌گرفتید برای تک‌تک مقاطع مخروطی را خودتان بدست می‌آوردید به جای اینکه این پرسش را برداشته‌اید و با عوض کردن مقطع مخروطی‌تان هر دفعه تکرارش کرده‌اید.

---

به نظرم
1- نقطه بیرون سهمی باشد دومماس ویک عمود میتوان رسم کرد
2-نقطه روی سهمی باشد یک مماس ویک عمود میتوان رسم کرد
3-نقطه درون سهمی باشد حداکثرسه عمود میتوان رسم کرد ومماس برسهمی نخواهیم داشت

---

@AmirHosein حداقل میتونم بگم حداکثر3عمود و لزومی ندارد نقطه روی محورتقارن باشد
مثال سهمی y=x^2 ازنقطه (2و1)

---

@good4us درست است ۳ عمود می‌شود. به اشتباه جای $(x-x_A)$ و $(x^2-y_A)$ را در معادلهٔ خط جابجا گذاشته‌بودم به جای معادلهٔ درجهٔ ۳، معادلهٔ درجهٔ ۲ می‌شد.

---

بله حالا دقیقتر بایدبررسی کرد3تا یا حداکثر3تا؟

Answer 1

دوران و انتقال محورهای مختصات تغییری در تعداد مماس‌ها و عمودهای بر یک خم از یک نقطه ایجاد نمی‌کنند. پس بدون کاستن از کلیت می‌توانیم فرض کنیم سهمی‌مان $y=x^2$ است. یک نقطهٔ دلخواه مانند $(x_0,y_0)$ بردارید و سپس ببینیم چه شرط‌هایی روی آن پیش خواهد آمد.

یک نقطه روی سهمی‌مان دارای مختصات $(x,x^2)$ است و شیب سهمی در آن برابر با $2x$ پس شیب خط‌های مماس و عمود بر سهمی که از آن نقطه بگذرند به ترتیب برابر با $2x$ و $\frac{-1}{2x}$ هستند. پس

1. اگر بتوان از $(x_0,y_0)$ مماسی بر سهمی گذراند باید سهمی را در نقطه‌ای با مختصات $(x,x^2)$ قطع کند و دارای شیب $2x$ باشد. هنوز نمی‌دانیم آیا $x$ ای می‌تواند وجود داشته باشد و در صورت وجود چند تا. پس $x_0$ و $y_0$ نقش پارامتر و $x$ نقش مجهول دارد. اگر چنین خط یا خط‌هایی موجود می‌بودند آنگاه معادله‌شان $x^2-y_0=2x(x-x_0)$ می‌شد. اگر ساده‌کنیم و یک طرف بیاوریم آنگاه یک برابری (معادله) و یک مجهول داریم. $$x^2-(2x_0)x+y_0=0$$ دلتای این برابری درجهٔ دو برابر است با $4(x_0^2-y_0)$. پس سه حالت داریم

(الف) اگر $y_0< x_0^2$ یعنی زیر سهمیِ اصلی باشد، آنگاه دو ریشه داریم (پس دو مماس).

(ب) اگر $y_0=x_0^2$ یعنی روی سهمی اصلی باشد، آنگاه یک ریشه داریم (یعنی یک مماس). که این ریشه دقیقا خود $x_0$ است.

(جیم) اگر $y_0>x_0^2$ یعنی بالای (یا به عبارتی داخل) سهمی اصلی باشد، آنگاه هیچ ریشه‌ای نداریم (یعنی هیچ مماس).

2. اگر بتوان از $(x_0,y_0)$ عمودی بر سهمی گذراند باید سهمی را در نقطه‌ای با مختصات $(x,x^2)$ قطع کند و دارای شیب $\frac{-1}{2x}$ باشد. پس دوباره پرسش را به حل یک دستگاه از برابری‌ها تبدیل می‌کنیم. معادلهٔ خط عمود در صورت وجود $x^2-y_0=\frac{-1}{2x}(x-x_0)$ است که به ما برابریِ چندجمله‌ای درجهٔ سهٔ تک‌مجهولهٔ دوپارامتری زیر را می‌دهد. $$2x^3+(1-2y_0)x-x_0$$ دلتای این چندجمله‌ای درجهٔ ۳ برابر است با $-4(2(1-2y_0)^3+27x_0^2)$ زمانی که دلتای چندجمله‌ای درجهٔ سه مثبت باشد، سه ریشهٔ حقیقی، زمانی که صفر باشد دو ریشهٔ حقیقی (یکی ساده و دیگری مرکب) و زمانی که منفی باشد تنها یک ریشهٔ حقیقی (ساده) دارد. با ساده‌سازی $\Delta>0$ داریم $y_0< \dfrac{3\sqrt[3]{\frac{x_0^2}{2}}+1}{2}$ . در شکل زیر دو خم یکی خود سهمی و یکی خم مربوط به دلتا رسم شده‌اند. زیر این خم که با آبی کمرنگ رنگ شده‌است یک عمود، روی خم دلتا دو عمود و بالای آن سه عمود بر سهمی قابل رسم است. پس تعداد عمودها مانند حالت تعداد مماس‌ها با خود خم سهمی افراز نمی‌شوند.

برای نمونه هر دو نقطهٔ $(1,2)$ و $(1,\frac{3}{2})$ بالای سهمی (داخل سهمی) هستند ولی از اولی ۳ و از دومی تنها یک عمود می‌توان بر سهمی رسم کرد.

Comments

بسیاربررسی دقیق وکاملی هست
طبق بالا نقطه ای مانند(5/4و1/2) دو عمود خواهیم داشت

Answer 2

برای نقطه درون ملاحظه بفرمایید خطوط عمود برسهمی 3بار از نقطه B مشاهده میشودوازنقاط دیگر درون حداکثر3تا

https://www.geogebra.org/m/xxJQSg7y