مکان هندسی نقاطی از صفحه را بیابید که مماس های رسم شده از آن نقطه بر دایره عمود باشند

Question

مکان هندسی نقاطی از صفحه را بیابید که مماس های رسم شده از آن نقطه بر دایره،برهم عمود باشند(دایره مونژ

Comments

تمامی نقاط موجود بر دایره ای هم مرکز با دایره مذکور به شعاع ( رادیکال دو )

---

رادیکال دو برابر؟ منظورتون
و دلیلش رو میدونید؟
باتشکر

Answer 1

دایره ای که مرکز آن در مبدا مختصات دکارتی است را درنظر بگیرید . حال نقطه ایی دلخواه مانند $M$ بیرون از دایره درنظر بگیرید به طوری که از آن نقطه اگر دو مماس بر دایره رسم کنیم آنگاه این دو مماس بر هم عمود باشند . شکلی شبیه شکل بالا ایجاد میشود . حال مرکز دایره را به نقاطی که خطوط در آن نقطه بر دایره مماس هستند وصل کنیم . آنگاه چهار ضلعی$MPOP'$ یک مربع است ( چون تمام زاویای داخلی آن نود درجه است و اینکه دو ضلع مجاور یعنی دو شعاع دایره با هم مساوی هستند درنتیجه مربع است ) در نتیجه فاصله ای $OM$ برابر خواهد شد با $\sqrt{2}R$ که $R$ شعاع دایره است . ( برای اثبات قضیه فیثاغورث در مثلث $MOP$ را به کار ببرید ) و این یعنی تمام نقاطی که بشود دو مماس بر دایره رسم کرد و بر هم عمود باشند . فاصلشون از مرکز برابر است با $\sqrt{2}R$ پس درنتیجه با توجه به تعریف دایره که میگوید " مجموعه نقاطی که فاصله ی آن نقاط از یک نقطه (مرکز ) ثابت باشد " دایره است . که این دایره را دایره مونژ گوییم .