مکان هندسی نقاطی از صفحه را بیابید که:

Question

$$ | \frac{z-1}{z+2} \mid = \frac{1}{2} $$

که $z$ عدد مختلط است

Answer 1

داریم : $$ | \frac{z-1}{z+2} \mid = \frac{1}{2} \Longrightarrow |z-1|=\frac12 |z+2| $$ حال با درنظر گرفتن $z=x+iy$ رابطه بالا را بازنویسی میکنیم : $$ |x+iy-1|=\frac12 |x+iy+2| $$ حال کافیست هرکدام از مدول ها را برحسب رادیکال محاسبه کرده و عبارت نهایی را برحسب x و y مرتب کنیم : $$ 2\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{(x+2)^2+y^2 } \Longrightarrow 4(x^2-2x+1+y^2)=x^2+4x+4+y^2 $$ با ساده سازی عبارت بالا داریم : $ (x-2)^2+y^2=4 $ که معادله دایره ای به مرکز (2,0) و شعاع 2 میباشد.