به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
371 بازدید
در دانشگاه توسط محمدامین111 (37 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

عددمختلطِ $z$ را چطور می‌شود به دست آورد به طوری که نقاط مختلط $z$ و $i$ و $iz$ یک مثلث متساوی الاضلاع تشکیل دهند؟

توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
@محمدامین۱۱۱ تلاش خودتان را اشاره کنید تا راهنمایی مناسب بگیرید. پرسش ساده است تنها نیاز دارد دست‌به‌قلم شوید. اگر به تلاش خودتان حتی به بن‌بست رسیده‌باشد اشاره کنید، آنگاه تمایل دوستان برای راهنمایی بیشتر می‌شود.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
انتخاب شده توسط محمدامین111
 
بهترین پاسخ

اگر به تلاش خودتان اشاره می‌کردید همان دو ماه پیش راهنمایی مناسب می‌گرفتید. عدد مختلط $z$ را $x+iy$ بگیرید که هنوز مقدارهای $x$ و $y$ را نمی‌دانیم. دو عدد دیگر یکی $i=0+1i$ و دیگری

$$iz=i(x+iy)=-y+ix$$

هستند. این سه عدد متناظر با سه نقطه در صفحهٔ $x\circ y$ هستند. نقطه‌های متناظر با $i$ و $z$ و $iz$ را به ترتیب نام‌های $A$ و $B$ و $C$ بدهید. درازای هر یال از سه‌گوشِ $ABC$ را در زیر می‌یابیم.

\begin{align} |AB| &= |B-A|=|(x+iy)-(i)|=|x+(y-1)i|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}\\ |AC| &= |C-A|=|(-y+xi)-(i)|=|-y+(x-1)i|=\sqrt{y^2+(x-1)^2}\\ |BC| &= |C-B|=|(-y-x)+(x-y)i|=\sqrt{(x+y)^2+(x-y)^2} \end{align}

برای اینکه این سه‌گوش دارای یال‌های با درازای یکسان باشد باید دستگاه دوبرابری-دومجهولیِ $|AB|=|AC|$ و $|AB|=|BC|$ را حل کنیم. برابریِ یکُم به ما نتیجهٔ زیر را می‌دهد.

\begin{align} |AB|=|AC| &\Longleftrightarrow x^2+y^2-2y+1=y^2+x^2-2x+1\\ &\Longleftrightarrow -2y=-2x\\ &\Longleftrightarrow y=x \end{align}

اکنون این نتیجه را در برابریِ دوم جایگذاری می‌کنیم.

\begin{align} |AC|=|BC| &\Longleftrightarrow x^2+y^2-2y+1=2x^2+2y^2\\ &\overset{y=x}{\Longleftrightarrow} 2x^2+2x-1=0 \end{align}

از حل این برابری درجهٔ دوی یک‌متغیره داریم $x=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$. پس گزینش برای $z$ که سه‌گوش با ویژگیِ خواسته‌شده را ایجاد کند ممکن است. در هر مورد درازای یال‌های سه‌گوش برابر با $|BC|$ که می‌شود $\sqrt{2x^2+2x^2}=2|x|$ است می‌شود، به یاد آورید که بخش حقیقی و موهومیِ $z$ با هم برابر شدند (نتیجهٔ برابریِ یکُم در بالا). یعنی اگر با دو رقم پس از اعشار بخواهید یک سه‌گوش با درازای یال‌های برابر با $0.73$ و برای دیگری $2.73$ داریم. شکل این دو سه‌گوش در زیر آورده‌شده‌است (کشیده‌شده با نرم‌افزار Maple میپل).

توضیحات تصویر

سه‌گوش دوم با رنگ آبی و سه‌گوش یکُم با گوشه‌های $A$ آبی و $B$ و $C$ -ِ قرمز مشخص شده‌اند.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...