آیا مجموعهای بزرگتر از مجموعهٔ عددهای مختلط هست آن را در بر بگیرد و به همراه عمل ضرب جابجایی باشد؟

Question

من بعد از خوندن چند تا مطلب تونستم در مورد Quaternionها و Octonionها مطلب جمع کنم ولی اینا چون خاصیت جابه‌جایی ندارند نمیتونن اعداد مختلط رو در بر بگیرند. اگه کسی در مورد سوالم میدونه لطفا راهنمایی کنه، ممنون. منظورم این است که اعداد حقیقی زیر مجموعه اعداد مختلط هستن پس اعداد مختلط زیر مجموعه کدام اعداد خواهند بود ؟؟

Comments

@vahideh : برای پاسخ خود، شما را به صفحه‌ای در همین سایت دعوت می‌کنم. جواب استاد عزیز @AmirHosein می‌تواند راهگشا باشد.
https://math.irancircle.com/18975

---

@vahideh زمانی که می‌گوئید مجموعه، فقط یک گردایه از شی‌ءها دارید و هیچ عملی نیست که حالا جابجایی بودن یا نبودن نسبت به آنها مطرح شود. عنوان پرسش را برایتان کمی ویرایش کردم ولی باید بهتر اشاره کنید که دنبال چه هستید. احتمالا شما پرسش اصلی‌تان این است که «آیا میدانی که تعمیم میدان عددهای مختلط باشد داریم؟».

---

@AmirHosein استاد منظورم این است که مثلا اعداد حقیقی زیر مجموعه اعداد مختلط هستن پس اعداد مختلط زیر مجموعه کدام اعداد خواهند بود ؟

---

@vahideh مطمئن هستید متوجه منظور دیدگام شدید؟ اگر فقط زیرمجموعه بودن به معنای زیرمجموعه بودن نظریهٔ مجموعه‌ها برایتان مهم است پس اون «جابجایی نیست» در متن پرسش‌تان چه هست؟ خب یک عضو الکی بردارید مثلا «کرهٔ زمین» بعد بنویسید اجتماع مجموعهٔ تک‌عضوی کرهٔ زمین و مجموعهٔ اعداد مختلط، این می‌شود یک مجموعهٔ بزرگتر. اگر چنین چیزی مد نظرتان نیست پس برگردید دیدگاه قبلی را دوباره بخوانید.

---

با سلام . من هنوز مطالعات زیادی نکردم ولی لازم است یاد اوری کنم که ما هرچقدر بخواهیم میتوانیم مجموعه ای مثال بزنیم که مجموعه اولیه زیر مجموعه ان باشد (قضیه کانتور) . اگر منظورتان تشکیل مجموعه بسته است ( با معرفی اعداد منفی ما یک گروه جبری داشتیم و با اعداد مختلط یک میدان بسته ) شاید بتوان مثلا برای لگاریتم و تابع نمایی نیز اعداد را گسترش داد مثلا لگاریتم طبیعی -1 را برابر q بگیریم و اعداد را گسترش دهیم ، البته ممکن است اینگونه تعاریف بعدا مارا به تناقض برساند ( پارادوکس راسل )

Answer 1

با درود به دانش پژوهان ریاضیات: اگر اشتباه نکنم، منظورتان وجود اعداد فرامختلط $n$ بعدی است که در آن $n > 2$ بوده و خاصیت جابجایی و شرکت پذیری جمع و ضرب برقرار باشد. کتابی که معرفی میکنم، منظور شما را برآورده میکند. در این کتاب کلیه میدانهای عددی که خاصیت مورد نظرتان را دارند، معرفی شده است و طبق مقدمه کتاب، کل آن در این مورد است. متأسفانه فعلاً مرجع فارسی در این مورد سراغ ندارم.

مرجع: Complex Numbers in n Dimensions تألیف Silviu Olariu، سال 2000, نشر مؤسسه فیزیک بوخارست در رومانی.

در مورد زیرمجموعه بودن اعداد $n-1$ بعدی تحت میدان عددی $n$ بعدی، میتوان با تجسم هم به این نتیجه رسید. اگر اعداد را بصورت نقاطی در فضای n بعدی تصور کنیم. با مثال زنده از زندگی روزمره میتوان به این نتیجه رسید.

1) اگر گوشه اطاق را نقطه (بدون بعد یا صفر بعدی یا تکینگی) فرض کنیم، آن نقطه زیرمجموعه بینهایت نقطه یکی از اضلاع تک بعدی اطاق است.

2) اگر ضلعی از اطاق را فضای تک بعدی اعداد حقیقی فرض کنیم، آن ضلع زیرمجموعه بینهایت ضلع کف اطاق است که میدان دوبعدی اعداد مختلط (کف اطاق) را تشکیل میدهد.

3) و اگر کف اطاق را میدان دوبعدی اعداد مختلط فرض کنیم، کف اطاق زیرمجموعه بینهایت سطح است که فضای اعداد فرامختلط سه بعدی (حجم اطاق) را تشکیل میدهد. و الی آخر. البته این مورد برداشت بنده از کتابهای انگلیسی است و از استاد عزیز @AmirHosein برای صحت این مطلب و درصورت لزوم تصحیح آن تقاضای یاری دارم. موفق و پاینده باشید.