به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
34 بازدید
در دبیرستان توسط Ms181381

دو خط d1 و d2 و نقطه A غیر واقع بر این دو خط داده شده است مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ABC را چنان رسم کنید که در راس A قائم باشد و راس های B و C روی d1 و d2 قرار گرفته باشد enter image description here

1 پاسخ

0 امتیاز
قبل توسط mdardah
ویرایش شده قبل توسط mdardah

enter image description hereابتدا اگر نقطه A مبدا مختصات نباشد با تغییر متغیر $ \begin{cases}X=x-a \Y=y-b\end{cases} $ که aوb مختصات نقطه Aمیباشد این نقطه به(0و0)تبدیل خواهد شد.همچنین معادله معادلات را در دستگاه جدید بدست می آوریم.این معادلات در شکل نشان داده شده است.

دو خطی که از نقطه A رسم شده است چون عمود بر یکدیگرند شیب آنها قرینه وعکس یکدیگرند فرض کنیم یکی از این خطوط خط $ d_{1} $ را در نقطه B و خط دیگر خط $ d_{2} $را در نقطه C قطع کند.

ثابت میکنیم مختصات B وC وابسته به یکدیگرند یعنی طول یکی با قرینه عرض دیگر وعرض یکی با طول دیگر برابر است فرض کنیم مختصات $B= \begin{bmatrix} \alpha \ \alpha m \end{bmatrix} $ چون نقطه B روی خط Y=mXنیز میباشد ومختصات نقطه $C= \begin{bmatrix} \beta \ \frac{-1}{ \ m } \beta \end{bmatrix} $ باشد چون AB=AC می باشد دراین صورت داریم (از فرمول فاصله دو نقطه)

$ \ \alpha ^{2} + \alpha ^{2} m^{2} = \beta ^{2}+ \frac{ \beta ^{2} }{ m^{2} } \Rightarrow \alpha ^{2} (1+ m^{2} )= \beta ^{2} ( \frac{1+ m^{2} }{ m^{2} }) \Rightarrow \beta ^{2} = \alpha ^{2} m^{2} \Rightarrow \beta = \pm \alpha m $

دلیل اینکه برای $ \beta $دو مقدار بدست میآید این است که دوخط عمود بر هم رسم شده در نقطه A ممکن است که هرکدام هر دو خط را قطع کنند.ا(گر هر خط رسم شده ازA هر دوخط را قطع کند مسئله دو جواب دارد)

بنا بر این مختصات نقطه$C= \begin{bmatrix}- \alpha m \ \alpha \end{bmatrix} $(رابطه بین مختصات BوC رایاد داشته باشید)

حال شیب دوخط عمود بر هم در نقطه A یعنی مقدار m را بدست می آوریم خط Y=aX+bوخط Y=mX رابا یکدیگر قطع می دهیم تا مختصات نقطهB بر حسب m بدست آیدmX=aX+b در نتیجهX(m-a)=b بنا براین$B= \begin{bmatrix} \frac{b}{m-a} \ \frac{mb}{m-a} \end{bmatrix} $ ودو خط Y=cX+d وخط$Y= \frac{-1}{m} X$رابا یکدیگر قطع می دهیم

cX+d=$ \frac{-1}{m} X$یعنی طول نقطه C برابر است با$ \frac{-dm}{1+mc} $واین مقدار قرینه عرض نقطه B باید باشدیعنی $ \frac{-dm}{1+mc} $=$ \frac{-mb}{m-a} $اگر این رابطه را ساده کنیم خواهیم داشت $m= \frac{b+ad}{d-bc} $

در این رابطه مقادیر a,b, c,d ضرایب دوخط داده شده در دستگاه جدید هستند.با بدست آوردن مقدار mمی توان دو خط عمود برهم در نقطه Aرا رسم کرد با این شیب نقا ط تقاطع با دوخط بدست می آید مثال دوخط Y=2X+1 وY=3X+2داده شده نقاطی از این دوخط پیدا کنید که با مبدا مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین درمبدا قائمه بسازند .
حل : $m= \frac{1+4}{2-3} $ با این شیب نقاط $B= \begin{bmatrix} \frac{-1}{7} \ \frac{5}{7} \end{bmatrix} $ ونقطه $C= \begin{bmatrix} \frac{-5}{7} \ \frac{-1}{7} \end{bmatrix} $ بدست میآید طبق آنچه گفته شده شیب بدست آمده را اگر در خطوط عوض کنیم دو نقطه دیگر نیز بدست میآید.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...