در مثلث قائم الزاویه ABC که (A=90) نیمساز AD را رسم میکنیم ثابت کنید رادیکال ۲ بر رویAB

Question

در مثلث قائم الزاویه ABC که (A=90) نیمساز AD را رسم میکنیم ثابت کنید

$ \frac{1}{AC} + \frac{1}{AB} = \frac{ \sqrt{2} }{AD} $

Comments

@Ms۱۸۱۳۸۱ اگر این نمونه سوالات گردآوری‌شده چاپ شده است، نام گردآورنده و انتشارات و سال چاپ را نیز بیاورید، ولی اگر نمونه سوالات گردآوری شدهٔ شخصی یا فتوکوپی‌شده یا در هر صورت چاپ و انتشار نشده است آنگاه نمی‌توانید به عنوان مرجع قید کنید، تنها می‌توانید در خود متن پرسش بنویسید که مرتبط با فصل ۳ هندسهٔ مقطع یازدهم است و همین.

Answer 1

از گوشه‌های $B$ و $C$ به نیمساز زاویهٔ $A$ عمود بکشید و نقطه‌های برخورد را به ترتیب $P$ و $Q$ بنامید. توجه کنید که با توجه به تعریف سینوس و اینکه سینوس زاویهٔ ۴۵ درجه $\frac{\sqrt{2}}{2}$ می‌شود داریم: $$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AB}{PB}=\frac{AC}{QC}$$ اکنون با توجه به اینکه جمع مساحت دو سه‌گوشِ $ACD$ و $ABD$ برابر با مساحت سه‌گوش $ABC$ می‌شود، داریم؛ $$\frac{QC\times AD}{2}+\frac{PB\times AD}{2}=\frac{AB\times AC}{2}\Longrightarrow (QC+PB)AD=AB\times AC$$ اما از رابطهٔ پیش‌تر داریم که $QC=\sqrt{2}AC$ و $PB=\sqrt{2}AB$ در نتیجه $$\sqrt{2}AD(AC+AB)=AB\times AC\Longrightarrow\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$$