به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
0 امتیاز
1,493 بازدید
در دبیرستان توسط Ms181381 (55 امتیاز)
ویرایش شده توسط MSS

در مثلث قائم الزاویه ABC که (A=90) نیمساز AD را رسم میکنیم ثابت کنید

\frac{1}{AC} + \frac{1}{AB} = \frac{ \sqrt{2} }{AD}
مرجع: نمونه سوالات جمع آوری شده از فصل سه هندسه یازدهم
توسط AmirHosein (19,676 امتیاز)
+1
@Ms۱۸۱۳۸۱ اگر این نمونه سوالات گردآوری‌شده چاپ شده است، نام گردآورنده و انتشارات و سال چاپ را نیز بیاورید، ولی اگر نمونه سوالات گردآوری شدهٔ شخصی یا فتوکوپی‌شده یا در هر صورت چاپ و انتشار نشده است آنگاه نمی‌توانید به عنوان مرجع قید کنید، تنها می‌توانید در خود متن پرسش بنویسید که مرتبط با فصل ۳ هندسهٔ مقطع یازدهم است و همین.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (19,676 امتیاز)

از گوشه‌های B و C به نیمساز زاویهٔ A عمود بکشید و نقطه‌های برخورد را به ترتیب P و Q بنامید. توجه کنید که با توجه به تعریف سینوس و اینکه سینوس زاویهٔ ۴۵ درجه \frac{\sqrt{2}}{2} می‌شود داریم: \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AB}{PB}=\frac{AC}{QC}

اکنون با توجه به اینکه جمع مساحت دو سه‌گوشِ ACD و ABD برابر با مساحت سه‌گوش ABC می‌شود، داریم؛ \frac{QC\times AD}{2}+\frac{PB\times AD}{2}=\frac{AB\times AC}{2}\Longrightarrow (QC+PB)AD=AB\times AC
اما از رابطهٔ پیش‌تر داریم که QC=\sqrt{2}AC و PB=\sqrt{2}AB در نتیجه \sqrt{2}AD(AC+AB)=AB\times AC\Longrightarrow\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}
enter image description here

...