مکان هندسی اعداد مختلطی که در $|z-1|<|z+1|$ صدق کنند چیست؟

Question

با سلام اگر z یک عدد مختلط باشد مکان هندسی رابطه زیر(مقادیری که در آن صدق میکنند) چیست؟ $\mid z-1 \mid < \mid z+1 \mid$ ممنون

Answer 1

یک عدد مختلط $z$ چیست؟ چیزی غیر از $x+iy$ بری دو عدد حقیقیِ $x$ و $y$ است که $i$ عدد موهومی در نظر گرفته شده است؟ پس هر عدد مختلط را با یک زوج مرتب در صفحهٔ حقیقی می‌توان نمایش داد. به یاد آورید که اندازهٔ یک عدد مختلط برابر با جذر جمع مجذور بخش حقیقی و بخش موهومی آن می‌بود. اکنون قرار دهید $z=x+iy$ در اینصورت داریم $z-1=(x-1)+iy$ (امیدورام که جمع و تفریق اعداد مختلط را بلد باشید و بدانید که ۱ یک عدد حقیقی و در نتیجه یک عدد مختلط نیز است در واقع می‌توانید بنویسید $1=1+0\cdot i$) و همینطور $z+1=(x+1)+iy$. پس نامساوی‌ای که خواسته‌شده است تبدیل می‌شود به

$$\begin{array}{lll} |z-1|< |z+1| & \Longleftrightarrow & \sqrt{(x-1)^2+y^2}< \sqrt{(x+1)^2+y^2} \\ & \Longleftrightarrow & (x-1)^2+y^2< (x+1)^2+y^2 \\ & \Longleftrightarrow & -2x< 2x \\ & \Longleftrightarrow & 0< x \end{array}$$ پس پاسخ خواسته شده می‌شود تمام $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ که $x$-ِ آنها مثبت باشد که نیم‌صفحهٔ سمت راست می‌شود.