افراز صفحه با توجه به اینکه چند مماس یا چند عمود از یک نقطه می‌توان بر یک دایره رسم کرد.

Question

يك نقطه نسبت به دايره سه حالت داريد يا درون يابيرون يا روي دايره قرار دارد... حال اگر نقطه بيرون دايره باشد چند مماس وچند قائم ميتوان رسم كرد...واگرنقطه روي دايره باشد چند مماس وچند قائم ميتوان رسم كرد..واگر داخل دايره باشد چند مماس وچند قائم ميتوان رسم كرد

Answer 1

• از هر نقطه خارج دایره و روی دایره فقط یک قائم بر دایره می توان رسم کرد.

• از هر نقطه در مرکز دایره بی شمار قائم می توان رسم کرد.
• از هر نقطه درون دایره غیر از مرکز می توان دو پاره خط عمود بر دایره رسم کرد(توجه کنید که این پاره خطها در یک راستا و روی یک خط قرار دارند)

---

• از هر نقطه خارج دایره دو مماس بر دایره می توان رسم کرد.

• از هر نقطه روی دایره یک مماس می توان رسم کرد

• از نقاط درون دایره هیچ خط مماسی نمی توان رسم کرد.

Comments

@fardina
ممنون بابت پاسخ
ميشه حالت سوم در خط قائم رو بييشتر توضيح بديد .يعني از هر نقطه درون دایره غیر از مرکز می توان دو پاره خط عمود بر دایره رسم کرد
ممنون

---

یعنی خطی که از نقطه درون دایره غیر از مرکز عبور میکنه و بر دایره عمود هست در دو جا دایره رو قطع میکنه و در هر دو جا بر دایره عمود است. یعنی فقط یک خط عمود عبور میکنه ولی در دوجا بر دایره عمود است.

---

@fardina
يعني
 خط قائمي كه از نقطه داخل دايره ميتوان رسم كرد
قطر دايره اس كه از نقطه داخل دايره مي گذرد.

---

دقیقا. خیلی خوب گفتید.

Answer 2

به پاسخ در این پیوند نگاه بیندازید. روش کلی برای پاسخ‌دادن چنین پرسش‌هایی بیان کردن پرسش به شکل حل یک دستگاه از برابری یا برابری‌ها (معادلات) -ِ پارامتری است.

چون انتقال، دوران و انبساط و انقباض تغییری در پاسخ پرسش ایجاد نمی‌کند (غیر از اینکه ناحیه‌های بدست‌آمده در زیر را نیز باید تحت تأثیر این تبدیل‌ها قرار دهید)، فرض کنید دایره‌تان، دایرهٔ واحد به مرکز مبدأ مختصات یعنی $x^2+y^2=1$ باشد. پس $$2x+2yy'_x=0\Rightarrow y'_x=-\frac{x}{y}$$ که یعنی در هر نقطهٔ $(x,y)$ از دایره‌مان شیب خط مماس $-\frac{x}{y}$ و شیب خط عمود $\frac{y}{x}$ است. یک نقطهٔ دلخواه از صفحه بردارید مانند $(x_0,y_0)$. پس از اینجا به بعد دو پارامتر $x_0$ و $y_0$ داریم که شروط افراز صفحه به نواحی مختلف با توجه به تعداد مماس‌ها یا عمودهایی که بر دایره از آنها می‌توان رسم کرد بر روی آنها بدست خواهند آمد.

اگر از نقطه‌مان مماس یامماس‌هایی به دایره رسم شوند دارای معادلهٔ $y-y_0=-\frac{x}{y}(x-x_0)$ خواهند بود. این خط‌ها باید دایره را قطع کنند پس نقطه با مختصات $(x,\sqrt{1-x^2})$ یا $(x,-\sqrt{1-x^2})$ باید در آن صدق کند. با جایگذاری آن در معادلهٔ خط پرسشِ چند تا خط مماس می‌توان رسم کرد برابر با چند تا پاسخ حقیقی برای برابری تک‌مجهوله ($x$) و دو پارامتری‌مان می‌توانیم داشته‌باشیم. $$\begin{array}{ll} & \pm\sqrt{1-x^2}-y_0=\frac{-x}{\pm\sqrt{1-x^2}}(x-x_0)\\ \Rightarrow & (1-x^2)\mp\sqrt{1-x^2}y_0=-x^2+xx_0\\ \Rightarrow & \mp\sqrt{1-x^2}y_0=xx_0-1\\ \Rightarrow & (1-x^2)y_0^2=(xx_0-1)^2\\ \Rightarrow & (x_0^2+y_0^2)x^2-(2x_0)x+(1-y_0^2)=0\end{array}$$ پس یک برابریِ درجهٔ دو داریم. دلتا را تشکیل دهید. $$\Delta=4y_0^2(x_0^2+y_0^2-1)$$ علامت دلتا تنها به عامل $x_0^2+y_0^2-1$ وابسته که بیرون و رو و داخل بودن نقطهٔ $(x_0,y_0)$ نسبت به دایرهٔ اصلی‌مان را می‌رساند. پس از بیرون دایره دو خط مماس، روی دایره یک خط مماس و از داخل هیچ خط بر دایره می‌توان رسم کرد.

اکنون به سراغ عمودها برویم. توجه کنید که خط گذرنده از یک نقطه با مختصات $(x,y)$ و شیب $\frac{y}{x}$ از مبدأ نیز می‌گذرد. پس اگر قرار باشد از نقطه‌مان خطی از نقطه‌ای از دایره با شیب برابر با پهنا بر درازای آن نقطهٔ روی دایره (عرض بر طول) بگذرد باید از مبدأ نیز بگذرد و بالعکس. پس پرسش اینکه چند خط عمود از نقطه‌مان بر دایره می‌گذرد هم‌ارز با این است که چند خط از نقطه‌مان و مبدأ مختصات می‌گذرد. روشن است که (چه با نوشتن معادله چه با استدلال هندسی) در صورتی که نقطه‌مان متمایز از خود مبدأ باشد پس دنبال تعداد خط‌های گذرنده از دو نقطهٔ متمایز هستیم که یکی می‌باشد و اگر نقطه‌مان خود مبدأ باشد به دنبال تعداد خط‌هایی هستیم که از یک نقطه بگذرند که بی‌شمار هستند.