افراز صفحه با توجه به اینکه چند مماس یا چند عمود از یک نقطه می‌توان بر یک بیضی رسم کرد.

Question

يك نقطه نسبت به بيضي سه حالت داريد يا درون يابيرون يا روي بيضي قرار دارد... حال اگر نقطه بيرونبيضي باشد چند مماس وچند قائم ميتوان رسم كرد...واگرنقطه روي بيضي باشد چند مماس وچند قائم ميتوان رسم كرد..واگر داخل بيضي باشد چند مماس وچند قائم ميتوان رسم كرد

Answer 1

الف) از هر نقطه خارج بیضی دو مماس و فقط یک قائم میتوان رسم کرد.

ب)از هر نقطه روی بیضی یک مماس و یک قائم می توان رسم کرد

ج)از هر نقطه درون بیضی دو خط قائم می توان رسم کرد که در 4 نقطه روی بیضی بر بیضی عمود هستند.

Comments

@erfanm به نظرم امکانش هست که بتوان از روی بیضی سه قائم بر بیضی داشت و یا از روی یک نقطه واقع بر یکی از قطرهای بیضی ولی نه در مرکز بیضی ۳ قائم رسم کرد و ... .

Answer 2

به پاسخ‌های قرارداده‌شده در این پیوند و این پیوند نگاه کنید. ایدهٔ حل این پرسش نیز دقیقا همان ایده‌ها است. بدون کاستن از کلیت برای یک بیضی $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ را بررسی می‌کنیم سپس برای هر بیضی‌ای با یک دوران و انتقال ناحیه‌های بدست‌آمده برای این بیضی را می‌توان به ناحیه‌های افراز برای آن بیضی تبدیل کرد.

معادلهٔ بیضی را مانند $2x^2+y^2-2=0$ نیز می‌توان نوشت. داریم $y_x'=-2\frac{x}{y}$. نقطهٔ دلخواهی را از صفحه ثابت بگیرید $(x_0,y_0)$، اگر خطی از این نقطه بر بیضی در در نقطه‌ای با درازا (طول) $x$ بگذرد آنگاه معادلهٔ خط برابر است با $$\begin{array}{l} \pm\sqrt{2(1-x^2)}-y_0=-2\frac{x}{\pm\sqrt{2(1-x^2)}}(x-x_0)\\ \Longrightarrow 2(1-x^2)\mp\sqrt{2(1-x^2)}y_0=-2x^2+2xx_0\\ \Longrightarrow \mp\sqrt{2(1-x^2)}y_0=2xx_0-2\\ \Longrightarrow 2(1-x^2)y_0^2=\big(2(xx_0-1)\big)^2\\ \Longrightarrow (2x_0^2+y_0^2)x^2-(4x_0)x+(2-y_0^2)=0\\ \\ \Delta=4y_0^2(2x_0^2+y_0^2-2) \end{array}$$ که یعنی از درون بیضی هیچ مماس، از روی بیضی یک مماس و از بیرون بیضی دو مماس.

اکنون برای عمود $$\begin{array}{l} \pm\sqrt{2(1-x^2)}-y_0=\frac{\pm\sqrt{2(1-x^2)}}{2x}(x-x_0)\\ \Longrightarrow \pm\sqrt{2(1-x^2)}\big(1-\frac{1}{2x}(x-x_0)\big)=y_0\\ \Longrightarrow \pm\sqrt{2(1-x^2)}=\frac{y_0}{1-\frac{1}{2x}(x-x_0)}\\ \Longrightarrow (1-x^2)=\frac{2y_0^2x^2}{(x+x_0)^2}\\ \\ x^4+(2x_0)x^3+(x_0^2+2y_0^2-1)x^2+(-2x_0)x+(-x_0^2)=0 \end{array}$$ که با استفاده از این پیوند می‌توانید در مورد تعداد ریشه‌های حقیقی‌اش بحث کنید.