برای بخش نخست پرسش‌تان توجه کنید که اگر تصویرکردنِ Stereographic (که برای تصویر کردن کرهٔ زمین بر روی نقشه در جغرافیا نیز استفاده می‌شود) استفاده کنید و صفحهٔ مختصات را بر روی یک کره تصویر کنید آنگاه (به مجانب‌های هذلولوی توجه کنید) هذلولوی شما تبدیل به یک شکل شبیه علامت \infty می‌شود که دقیقا در نقطهٔ پشتِ نقطهٔ متناظر به مرکز هذلولوی‌تان به همدیگر وصل می‌شوند. مکان یک نقطه بر روی این کره سه حالت دارد. یا درون بیضی‌شکلِ سمت راست است یا درون بیضی‌شکلِ سمت چپ است یا بیرون هر دو. اکنون تصویری که انجام داده‌بودید را برگردانید به صفحه. یک نقطه یا درون بازوی سمت راست است یا درون بازوی سمت چپ یا بیرون هر دو (در مورد هذلولوی‌های عمودی یا غیر عمودی و افقی، کافیست یک دوران انجام دهید یا به جای استفاده از واژه‌های راست و چپ از بازوی یک و بازوی دو استفاده کنید).
اکنون به سراغ افراز صفحه بر اساس تعداد مماس‌های ممکن بر هذلولوی برویم. به پاسخ‌های این پیوند و این پیوند نگاه بیندازید، در اینجا نیز از همان ایده استفاده می‌کنیم. یک نقطه از صفحه مانند (x_0,y_0) برمی‌داریم. هذلولوی استاندارد افقی یعنی x^2-y^2=1 را در نظر می‌گیریم.
x^2-y^2=1\Rightarrow 2x-2yy'_x=0\Rightarrow y'_x=\frac{x}{y}
پس شیب خط مماس بر هذلولوی در نقطهٔ
(x,y) که بر روی آن قرار داشته باشد برابر است با
\frac{x}{y}. یک نقطه که روی این هذلولوی قرار داشته باشد دارای مختصات
(x,\pm\sqrt{x^2-1}) است. پس اگر مماسی از نقطه‌مان بر این هذلولی رسم شود باید برابری تک‌مجهوله-دوپارامتریِ زیر دارای پاسخ حقیقی باشد.
\frac{\pm\sqrt{x^2-1}-y_0}{x-x_0}=\frac{x}{\pm\sqrt{x^2-1}}
که برابریِ درجهٔ دوی زیر را می‌دهد.
(x_0^2-y_0^2)x^2-2x_0x+(1+y_0^2)=0
دلتای این برابری درجهٔ دو برابر است با
\Delta=-4y_0^2(x_0^2-y_0^2-1)
که زمانی مثبت است که نقطه‌مان بیرون هذلولوی است و صفر زمانی که روی آن و منفی زمانی که درون بازوها باشد.
اکنون به افراز صفحه با توجه به تعداد عمودها بپردازیم. بنابراین باید برابریِ تک‌مجهولی-دو پارامتری زیر را حل کنیم.
\frac{\pm\sqrt{x^2-1}-y_0}{x-x_0}=\frac{\mp\sqrt{x^2-1}}{x}
که به برابری درجهٔ چهار زیر تبدیل می‌شود
(4)x^4+(-4x_0)x^3+(x_0^2-y_0^2-4)x^2+(4x_0)x+(-x_0^2)=0
برای برابری درجهٔ چهار مانند برابری درجهٔ ۲ و ۳ دلتا و تشخیص رفتار ریشه‌ها بر اساس علامت آن داریم، با این تفاوت که دلتا به تنهایی کامل رده‌بندی نمی‌کند و باید چند عبارت را تشکیل و تعیین علامت کنیم. به
این پیوند از ویکی‌پدیا نگاه بیندازید. انجام محاسبات دیگر به عهدهٔ خواننده.
