به پاسخهای قراردادهشده در این پیوند و این پیوند نگاه کنید. ایدهٔ حل این پرسش نیز دقیقا همان ایدهها است. بدون کاستن از کلیت برای یک بیضی $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ را بررسی میکنیم سپس برای هر بیضیای با یک دوران و انتقال ناحیههای بدستآمده برای این بیضی را میتوان به ناحیههای افراز برای آن بیضی تبدیل کرد.
معادلهٔ بیضی را مانند $2x^2+y^2-2=0$ نیز میتوان نوشت. داریم $y_x'=-2\frac{x}{y}$. نقطهٔ دلخواهی را از صفحه ثابت بگیرید $(x_0,y_0)$، اگر خطی از این نقطه بر بیضی در در نقطهای با درازا (طول) $x$ بگذرد آنگاه معادلهٔ خط برابر است با
$$\begin{array}{l}
\pm\sqrt{2(1-x^2)}-y_0=-2\frac{x}{\pm\sqrt{2(1-x^2)}}(x-x_0)\\
\Longrightarrow 2(1-x^2)\mp\sqrt{2(1-x^2)}y_0=-2x^2+2xx_0\\
\Longrightarrow \mp\sqrt{2(1-x^2)}y_0=2xx_0-2\\
\Longrightarrow 2(1-x^2)y_0^2=\big(2(xx_0-1)\big)^2\\
\Longrightarrow (2x_0^2+y_0^2)x^2-(4x_0)x+(2-y_0^2)=0\\
\\
\Delta=4y_0^2(2x_0^2+y_0^2-2)
\end{array}$$
که یعنی از درون بیضی هیچ مماس، از روی بیضی یک مماس و از بیرون بیضی دو مماس.
اکنون برای عمود
$$\begin{array}{l}
\pm\sqrt{2(1-x^2)}-y_0=\frac{\pm\sqrt{2(1-x^2)}}{2x}(x-x_0)\\
\Longrightarrow \pm\sqrt{2(1-x^2)}\big(1-\frac{1}{2x}(x-x_0)\big)=y_0\\
\Longrightarrow \pm\sqrt{2(1-x^2)}=\frac{y_0}{1-\frac{1}{2x}(x-x_0)}\\
\Longrightarrow (1-x^2)=\frac{2y_0^2x^2}{(x+x_0)^2}\\
\\
x^4+(2x_0)x^3+(x_0^2+2y_0^2-1)x^2+(-2x_0)x+(-x_0^2)=0
\end{array}$$
که با استفاده از این پیوند میتوانید در مورد تعداد ریشههای حقیقیاش بحث کنید.
