به پاسخ در این پیوند نگاه بیندازید. روش کلی برای پاسخدادن چنین پرسشهایی بیان کردن پرسش به شکل حل یک دستگاه از برابری یا برابریها (معادلات) -ِ پارامتری است.
چون انتقال، دوران و انبساط و انقباض تغییری در پاسخ پرسش ایجاد نمیکند (غیر از اینکه ناحیههای بدستآمده در زیر را نیز باید تحت تأثیر این تبدیلها قرار دهید)، فرض کنید دایرهتان، دایرهٔ واحد به مرکز مبدأ مختصات یعنی $x^2+y^2=1$ باشد. پس
$$2x+2yy'_x=0\Rightarrow y'_x=-\frac{x}{y}$$
که یعنی در هر نقطهٔ $(x,y)$ از دایرهمان شیب خط مماس $-\frac{x}{y}$ و شیب خط عمود $\frac{y}{x}$ است. یک نقطهٔ دلخواه از صفحه بردارید مانند $(x_0,y_0)$. پس از اینجا به بعد دو پارامتر $x_0$ و $y_0$ داریم که شروط افراز صفحه به نواحی مختلف با توجه به تعداد مماسها یا عمودهایی که بر دایره از آنها میتوان رسم کرد بر روی آنها بدست خواهند آمد.
اگر از نقطهمان مماس یامماسهایی به دایره رسم شوند دارای معادلهٔ $y-y_0=-\frac{x}{y}(x-x_0)$ خواهند بود. این خطها باید دایره را قطع کنند پس نقطه با مختصات $(x,\sqrt{1-x^2})$ یا $(x,-\sqrt{1-x^2})$ باید در آن صدق کند. با جایگذاری آن در معادلهٔ خط پرسشِ چند تا خط مماس میتوان رسم کرد برابر با چند تا پاسخ حقیقی برای برابری تکمجهوله ($x$) و دو پارامتریمان میتوانیم داشتهباشیم.
$$\begin{array}{ll} & \pm\sqrt{1-x^2}-y_0=\frac{-x}{\pm\sqrt{1-x^2}}(x-x_0)\\
\Rightarrow & (1-x^2)\mp\sqrt{1-x^2}y_0=-x^2+xx_0\\
\Rightarrow & \mp\sqrt{1-x^2}y_0=xx_0-1\\
\Rightarrow & (1-x^2)y_0^2=(xx_0-1)^2\\
\Rightarrow & (x_0^2+y_0^2)x^2-(2x_0)x+(1-y_0^2)=0\end{array}$$
پس یک برابریِ درجهٔ دو داریم. دلتا را تشکیل دهید.
$$\Delta=4y_0^2(x_0^2+y_0^2-1)$$
علامت دلتا تنها به عامل $x_0^2+y_0^2-1$ وابسته که بیرون و رو و داخل بودن نقطهٔ $(x_0,y_0)$ نسبت به دایرهٔ اصلیمان را میرساند. پس از بیرون دایره دو خط مماس، روی دایره یک خط مماس و از داخل هیچ خط بر دایره میتوان رسم کرد.
اکنون به سراغ عمودها برویم. توجه کنید که خط گذرنده از یک نقطه با مختصات $(x,y)$ و شیب $\frac{y}{x}$ از مبدأ نیز میگذرد. پس اگر قرار باشد از نقطهمان خطی از نقطهای از دایره با شیب برابر با پهنا بر درازای آن نقطهٔ روی دایره (عرض بر طول) بگذرد باید از مبدأ نیز بگذرد و بالعکس. پس پرسش اینکه چند خط عمود از نقطهمان بر دایره میگذرد همارز با این است که چند خط از نقطهمان و مبدأ مختصات میگذرد. روشن است که (چه با نوشتن معادله چه با استدلال هندسی) در صورتی که نقطهمان متمایز از خود مبدأ باشد پس دنبال تعداد خطهای گذرنده از دو نقطهٔ متمایز هستیم که یکی میباشد و اگر نقطهمان خود مبدأ باشد به دنبال تعداد خطهایی هستیم که از یک نقطه بگذرند که بیشمار هستند.
