دوران و انتقال محورهای مختصات تغییری در تعداد مماسها و عمودهای بر یک خم از یک نقطه ایجاد نمیکنند. پس بدون کاستن از کلیت میتوانیم فرض کنیم سهمیمان $y=x^2$ است. یک نقطهٔ دلخواه مانند $(x_0,y_0)$ بردارید و سپس ببینیم چه شرطهایی روی آن پیش خواهد آمد.
یک نقطه روی سهمیمان دارای مختصات $(x,x^2)$ است و شیب سهمی در آن برابر با $2x$ پس شیب خطهای مماس و عمود بر سهمی که از آن نقطه بگذرند به ترتیب برابر با $2x$ و $\frac{-1}{2x}$ هستند. پس
- اگر بتوان از $(x_0,y_0)$ مماسی بر سهمی گذراند باید سهمی را در نقطهای با مختصات $(x,x^2)$ قطع کند و دارای شیب $2x$ باشد. هنوز نمیدانیم آیا $x$ ای میتواند وجود داشته باشد و در صورت وجود چند تا. پس $x_0$ و $y_0$ نقش پارامتر و $x$ نقش مجهول دارد. اگر چنین خط یا خطهایی موجود میبودند آنگاه معادلهشان $x^2-y_0=2x(x-x_0)$ میشد. اگر سادهکنیم و یک طرف بیاوریم آنگاه یک برابری (معادله) و یک مجهول داریم.
$$x^2-(2x_0)x+y_0=0$$
دلتای این برابری درجهٔ دو برابر است با $4(x_0^2-y_0)$. پس سه حالت داریم
(الف) اگر $y_0<x_0^2$ یعنی زیر سهمیِ اصلی باشد، آنگاه دو ریشه داریم (پس دو مماس).
(ب) اگر $y_0=x_0^2$ یعنی روی سهمی اصلی باشد، آنگاه یک ریشه داریم (یعنی یک مماس). که این ریشه دقیقا خود $x_0$ است.
(جیم) اگر $y_0>x_0^2$ یعنی بالای (یا به عبارتی داخل) سهمی اصلی باشد، آنگاه هیچ ریشهای نداریم (یعنی هیچ مماس).
- اگر بتوان از $(x_0,y_0)$ عمودی بر سهمی گذراند باید سهمی را در نقطهای با مختصات $(x,x^2)$ قطع کند و دارای شیب $\frac{-1}{2x}$ باشد. پس دوباره پرسش را به حل یک دستگاه از برابریها تبدیل میکنیم. معادلهٔ خط عمود در صورت وجود $x^2-y_0=\frac{-1}{2x}(x-x_0)$ است که به ما برابریِ چندجملهای درجهٔ سهٔ تکمجهولهٔ دوپارامتری زیر را میدهد.
$$2x^3+(1-2y_0)x-x_0$$
دلتای این چندجملهای درجهٔ ۳ برابر است با
$-4(2(1-2y_0)^3+27x_0^2)$
زمانی که دلتای چندجملهای درجهٔ سه مثبت باشد، سه ریشهٔ حقیقی، زمانی که صفر باشد دو ریشهٔ حقیقی (یکی ساده و دیگری مرکب) و زمانی که منفی باشد تنها یک ریشهٔ حقیقی (ساده) دارد.
با سادهسازی $\Delta>0$
داریم
$y_0<\dfrac{3\sqrt[3]{\frac{x_0^2}{2}}+1}{2}$
. در شکل زیر دو خم یکی خود سهمی و یکی خم مربوط به دلتا رسم شدهاند. زیر این خم که با آبی کمرنگ رنگ شدهاست یک عمود، روی خم دلتا دو عمود و بالای آن سه عمود بر سهمی قابل رسم است. پس تعداد عمودها مانند حالت تعداد مماسها با خود خم سهمی افراز نمیشوند.
برای نمونه هر دو نقطهٔ $(1,2)$ و $(1,\frac{3}{2})$ بالای سهمی (داخل سهمی) هستند ولی از اولی ۳ و از دومی تنها یک عمود میتوان بر سهمی رسم کرد.
