Question

ثابت کنید اگر تابع هموگرافیک با معکوس خود برابر باشد آنگاه a+d=0 مشود

تلاش من: گر معادله های دو عبارت را مساوی یکدیگر قرار دهیم و با ضرب طرفین در هم به معادله بسیار بزرگی میرسیم که حل کردن آن دشوار است

Answer 1

تابع هموگرافیک دلخواه $y= \frac{ax+b}{cx+d}$ را در نظر بگیرید. ابتدا وارون آن را بدست می آوریم. برای بدست آوردن وارون جای $x$ و $y$ را عوض میکنیم سپس سعی می کنیم $y$ را بر حسب $x$ بنویسیم.

$$x= \frac{ay+b}{cy+d} \Rightarrow cyx+dx=ay+b \Rightarrow cyx-ay=-dx+b$$

حال از $y$ در سمت چپ فاکتور می گیریم:

$$y (cx-a)=-dx+b \Rightarrow y= \frac{-dx+b}{cx-a}$$

حال اگر این معکوس را با تابع اولیه برابر قرار دهیم می بینیم که $a=-d$ است و این حکم را ثابت می کند.