شما باید توجه بکنید که $$[x]=[y] \Rightarrow |x-y|< 1$$ فقط یک تقریب به دست می دهد نه جواب مساله را!
زیرا بر عکس آن درست نیست یعنی از $|x-y|< 1$ نمی توان نتیجه گرفت که $[x]=[y]$ مثلا $x=0.2,y=-0.7$ را در نظر بگیرید.
پس از $[2x]=[x+5]$ فقط می توانیم نتیجه بگیرم که $|x-5|=|2x-x-5|< 1$ یعنی جواب ها در فاصله ی $(4,6)=|x-5|< 1$ قرار می گیرند. ولی به معنای این نیست که جواب مساله همین است!
ولی فرمول زیر $$[x]=n\iff n\leq x< n+1$$
به صورت اگر و تنها اگر است و جواب مساله را به دست می دهد یعنی از $[x]+[x+\frac12]=[2x]=[x]+5$ داریم $[x+\frac12]=5$ و از از نکته بالا خواهیم داشت $5\leq x+\frac12 < 6$ که جواب $[4.5,5.5)$ را به دست می دهد. و همین بازه جواب مساله است.
اثبات رابطه ی $$[x]=[y] \Rightarrow |x-y|< 1$$
بنابر تعریف جزء صحیح می دانیم $[x]\leq x< [x]+1$ بنابراین $x-1< [x]\leq x$
حال از $[x]=[y]$ داریم $y-1< [y]\leq x< [y]+1\leq y+1$ بنابر این $-1< x-y< 1$ و از خواص قدرمطلق داریم: $|x-y|< 1$.
