برای حل این معادله می توان آن را به صورت چند ضابطه ای نوشت . قبل از انجام این کار لازم است با مفهوم جزء اعشاری یک عدد آشنا باشیم . همانند جزصحیح یک عدد می توان برای عدد جزء اعشاری تعریف کرد. برای مثال می توان جزء اعشاری $\frac{3}{2}$ را عدد $\frac{1}{2}$ در نظر گرفت. می توان عدد x را به صورت ترکیبی از جزء اعشاری و جزء صحیح آن نمایش داد :
$$x = [x] + p$$
بدین صورت که که در رابطه بالا $p$ جزء اعشاری عدد $x$ است و همچنین $0 \leq p < 1 $ . از این روابط برای حل معادله استفاده خواهیم کرد.
معادله را با توجه به مفهوم جزء اعشاری بازنویسی می کنیم.
$$[x] + [2x] + [3x] = 6$$
$$[[x] + p] + [2([x] + p)] + [3([x] + p)] = 6$$
با توجه به صحیح بودن $[x]$ مقادیر $[x], 2[x], 3[x]$ را می توان از جزء صحیح خارج کرد و معادله را به صورت زیر نوشت:
$$6[x] + [p] + [2p] + [3p] = 6$$
حالا معادله را با توجه به مقدار $p$ به صورت چند ضابطه ای می نویسیم:
$$ \begin{cases}6[x] = 6 & 0 \leq p < \frac{1}{3}\\6[x] + 1 = 6 & \frac{1}{3} \leq p < \frac{1}{2}\\6[x] + 2 = 6 & \frac{1}{2} \leq p < \frac{2}{3}\\6[x] + 3 = 6 & \frac{2}{3} \leq p < 1 \end{cases} $$
با حل معادلات خواهیم داشت :
$$ \begin{cases}[x] = 1 & 0 \leq p < \frac{1}{3}\\ [x] = \frac{5}{6} & \frac{1}{3} \leq p < \frac{1}{2}\\ [x] = \frac{2}{3} & \frac{1}{2} \leq p < \frac{2}{3}\\ [x] = \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \leq p < 1 \end{cases} $$
با توجه به صحیح بودن $[x]$ به غیر از ضابطه اول دیگر ضابطه ها جواب ندارند.
شرط ضابطه اول به صورت زیر است:
$$0 \leq p < \frac{1}{3}$$
$[x]$ را به طرف های نامساوی بالا اضافه می کنیم.
$$[x] \leq [x] + p < \frac{1}{3} + [x]$$
بر طبق ضابطه اول $[x] = 1$ و همچنین با توجه به آنچه در ابتدا گفتم $[x] + p = x$ پس خواهیم داشت :
$$1 \leq x < \frac{4}{3}$$
