اگر $f(x)=2x+[x]$ باشد و$f(x)^{-1} =g(x)$ انگاه با فرض طبیعی بودن مقدار n حاصل عبارت زیر را حساب کنید

Question

اگر $f(x)=2x+[x]$ باشد و$f^{-1}(x) =g(x)$ انگاه با فرض طبیعی بودن مقدار n حاصل عبارت زیر را حساب کنید ( [ ] نماد براکت میباشد )

$$g(2g(2n(n+1))+5n)=4n+1$$

ایا روشی وجود دارد که بدون محاسبه وارون به پاسخ رسید؟

Comments

$$g(2g(2n(n+1))+5n)=4n+1 \iff f\Bigg(g(2g(2n(n+1))+5n)\Bigg)=f(4n+1) \iff 2g(2n(n+1))+5n=12n+3 \iff g(2n^2+2n)=\frac{7n+3}{2} \iff 2n^2+2n=7n+3+[\frac{7n+3}{2}] \iff 2n^2-5n-3=  [\frac{7n+3}{2}]$$

پس جوابی برای $n$ طبیعی نمیتوان پیدا کرد. چون کافیست اعداد یک تا ده را امتحان کنی میبینی که هیچ کدام جواب نیستند

---

@mdgi برای n های بزرگ تر 10 چطور؟ از کجا فهمیدید که به ازای n طبیعی جواب ندارد؟ آیا تمام n ها را امتحان کردید؟

---

در واقع جواب معادله آخر را از طریق رسم دو نمودار سمت راست و چپ تساوی معادله آخر بدست می آوریم. و محل برخورد دو نمودار از عدد ده کمتر است.

Answer 1

ابتدا کمی ضابطه را ساده میکنیم. داریم: $$g(2g(2n^2+2n)+5n)=4n+1$$ از $g(2n^2+2n)$ شروع میکنیم. فرض میکنیم مقدار آن برابر $\alpha$ شود. در نتیجه داریم: $$(2n^2+2n,\alpha) \in g$$ و چون g معکوس f است. پس: $$(\alpha,2n^2+2n) \in f$$ حال این سوال پیش میآید که $\alpha$ چه مقداری داشته که وقتی آن را به f تحویل داده ایم، f مقدار $2n^2+2n$ را تحویل داده است. با کمی دقت متوجه میشویم که این مقدار $\frac23n^2+\frac23n$ بوده است.(لازم به ذکر است که در اینجا فرض میکنیم که $n^2+n$ بر 3 بخش پذیر است تا داخل براکت عددی صحیح شود و خودش بیرون بیاید)

از آنجایی که$\alpha$ برابر $\frac23n^2+\frac23n$ نتیجه میگیریم که $2g$ برابر $\frac43n^2+\frac43n$ میشود.حال اگر با $5n$ جمع شود خواهیم داشت: $$g(\frac43n^2+\frac{19}{3}n)=4n+1$$

دوباره مثل قبل عمل میکنیم. پیش خود میگوییم که: $$(\frac43n^2+\frac{19}{3}n,4n+1) \in g$$

در نتیجه: $$(4n+1,\frac43n^2+\frac{19}{3}n) \in f$$ خب حالا باید معادله زیر را حل کنیم: $$8n+2+4n+1=\frac43n^2+\frac{19}{3}n$$ ریشه های این معادله : $n=\frac18(17-\sqrt{433})$ و $n=\frac18(17+\sqrt{433})$ میشود که با فرض طبیعی بودن n در تناقض است. در نتیجه معادله شما با توجه به شرطی که گذاشتید(و شرط خودمان)، جواب ندارد.

Comments

@mdgi
واقعا کمال تشکر رو دارم ازتون. ممنونم
@SinaMoradi