Question

اگر $df/dx=f(x+1)-f(x) , df/dx=f(x)-f(x-1)$ باشد انگاه ثابت کنید $d^2f/d^2x=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)$

Answer 1

این پرسش خیلی ساده است!

از رابطهٔ دوم یک بار مشتق بگیرید. $$f''(x)=f'(x+1)-f'(x)$$ اکنون برای دو مستقِ سمت راستِ رابطهٔ بالا از رابطهٔ یکم استفاده کنید. $$f'(x+1)-f'(x)=\Big(f((x+1))-f((x+1)-1)\Big)-\Big(f((x))-f((x)-1)\Big)$$ پس $$f''(x)=f(x+1)-f(x)-f(x)+f(x-1)$$ که حکم را می‌دهد.