ثابت کنید $f(x)=\begin{cases}x^2sin \frac{1}{x} & x \neq 0\\ 0& x=0\end{cases}$ در $x=0$ مشتق دوم ندارد

Question

ثابت کنید تابع $f$ با ضابطه زیر در $R$ مشتق پذیر و در $x=0$ مشتق دوم ندارد: $f(x)=\begin{cases}x^2sin \frac{1}{x} & x \neq 0\\ 0& x=0\end{cases}$

Answer 1

برای $x\neq 0$ چون $f(x)=x^2\sin\frac 1x$ پس واضح است همه جا مشتق پذیر است و $f'(x)=2x\sin\frac 1x-\cos\frac 1x$

حال برای $x=0$ بررسی می کنیم:

$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac 1x-0}{x-0}=\lim_{x\to 0}x\sin\frac 1x=0$$

تساوی اخر از قضیه فشردگی نتیجه شد.

برای مشتق دوم هم داریم:

$$f''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{2x\sin\frac 1x-\cos\frac 1x-0}{x-0}=\lim_{x\to 0}2\sin\frac 1x -\frac{\cos\frac 1x}x$$

که این حد هم وجود ندارد.(مثلا دنباله های $\frac1{2n\pi}$ و $\frac1{2n\pi+\frac\pi2}$ را در نظر بگیرید.)

Comments

ممنون.ولی من تازه ریاضی عمومی 1 دارم و دنباله ها رو نخوندیم.حد آخر رو چطور بیان کنم