برای $x\neq 0$ چون $f(x)=x^2\sin\frac 1x$ پس واضح است همه جا مشتق پذیر است و $f'(x)=2x\sin\frac 1x-\cos\frac 1x$
حال برای $x=0$ بررسی می کنیم:
$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac 1x-0}{x-0}=\lim_{x\to 0}x\sin\frac 1x=0$$
تساوی اخر از قضیه فشردگی نتیجه شد.
برای مشتق دوم هم داریم:
$$f''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{2x\sin\frac 1x-\cos\frac 1x-0}{x-0}=\lim_{x\to 0}2\sin\frac 1x -\frac{\cos\frac 1x}x$$
که این حد هم وجود ندارد.(مثلا دنباله های $\frac1{2n\pi}$ و $\frac1{2n\pi+\frac\pi2}$ را در نظر بگیرید.)
