تمرین زیر در این گونه موارد میتونه مفید باشه:
اگر f:[a,b]\to\mathbb R انتگرال پذیر ریمان باشد و g:[a,b]\to\mathbb R به جز در تعدادی متناهی از نقاط [a,b] داشته باشیم f(x)=g(x) در اینصورت g نیز انتگرال پذیر ریمان است و \int_a^b f=\int_a^b g .
سعی کنید این تمرین مهمو اثبات کنید!
در اینصورت اگر قرار بدیم g:[0,2]\to\mathbb R و g(x)=0 در اینصورت f=g به جز در تعدادی متناهی نقطه(در واقع فقط در x=1 با هم برابر نیستند) لذا بنابر نکته بالا f انتگرال پذیر است و \int_0^2f=\int_0^2g=\int_0^20=0 .
البته در این سوال شما به طور مستقیم هم میتوان نشان داد که f انتگرال پذیر است و انتگرالش برابر صفر.
فقط کافی است برای افراز دلخواه P=(x_0,x_1,...,x_n) از بازه [0,2] دو حالت را در نظر بگیرید:
الف) 1 متعلق به زیربازه ی (x_i,x_{i+1}) باشد در اینصورت U(P,f)=\frac 1n و L(P,f)=0 و حد این دو در بی نهایت برابر صفر است.
ب) 1 یک نقطه ی افرازی باشد یعنی x_i=1 در اینصورت U(P,f)=\frac 2n و L(P,f)=0 و حد این دو هم \to\infty برابر صفر است.
بنابراین f انتگرال پذیر بوده و انتگرالش برابر صفر است.
