تمرین زیر در این گونه موارد میتونه مفید باشه:
اگر $f:[a,b]\to\mathbb R$ انتگرال پذیر ریمان باشد و $g:[a,b]\to\mathbb R$ به جز در تعدادی متناهی از نقاط $[a,b]$ داشته باشیم $f(x)=g(x)$ در اینصورت $g$ نیز انتگرال پذیر ریمان است و $\int_a^b f=\int_a^b g$ .
سعی کنید این تمرین مهمو اثبات کنید!
در اینصورت اگر قرار بدیم $g:[0,2]\to\mathbb R$ و $g(x)=0$ در اینصورت $f=g$ به جز در تعدادی متناهی نقطه(در واقع فقط در $x=1$ با هم برابر نیستند) لذا بنابر نکته بالا $f$ انتگرال پذیر است و $\int_0^2f=\int_0^2g=\int_0^20=0$ .
البته در این سوال شما به طور مستقیم هم میتوان نشان داد که $f$ انتگرال پذیر است و انتگرالش برابر صفر.
فقط کافی است برای افراز دلخواه $P=(x_0,x_1,...,x_n)$ از بازه $[0,2]$ دو حالت را در نظر بگیرید:
الف) $1$ متعلق به زیربازه ی $(x_i,x_{i+1})$ باشد در اینصورت $U(P,f)=\frac 1n$ و $L(P,f)=0$ و حد این دو در بی نهایت برابر صفر است.
ب) $1$ یک نقطه ی افرازی باشد یعنی $x_i=1$ در اینصورت $U(P,f)=\frac 2n$ و $L(P,f)=0$ و حد این دو هم $\to\infty$ برابر صفر است.
بنابراین $f$ انتگرال پذیر بوده و انتگرالش برابر صفر است.
