سلام دوست عزیز,
بصورت مستقیم سعی می کنیم. کانتور بودن (حدف نیمه میانی) را در مجموعه $A$ مشاهده کنیم.
اگر شما به مجموعه $A$ نگاه کنید میتوانیم بنویسیم
$$A=\cap_{n\ge 1}g^{-n}[0,1]
=
g^{-1}[0,1]
\cap
\cap_{n\ge 2}g^{-n}[0,1]
$$
حال طبق ضابطه تابع به $g^{-1}[0,1]$ نگاه می کنیم که برابر است با $[\frac{2}{3},1]\cup[0,\frac{1}{3}]$
پس در گام نخست مرحله اول کانتور ظاهر شد و بهمین طریق $g^{-2}[0,1]$ را حساب می کنیم. که بسادگی می بینیم.
$g^{-2}[0,1]
=
[\frac{0}{9},\frac{1}{9}]
\cup
[\frac{2}{9},\frac{3}{9}]
\cup
[\frac{6}{9},\frac{7}{9}]
\cup
[\frac{8}{9},\frac{9}{9}]
$
و بطور مشابه فوق مرحله دوم کانتور نیز ظاهر میشود حل میشودبا استفاده از استقرا اثبات را تکمیل میکنیم.
یک روش دیگری هم هست که مشابه اثبات کانتور بودن مجموع پایای تابع لاجستیک که همسانریختی بین فضای سیمبلیک ${0,1}^{\mathbb N}$ و $A$ برقرار میکند و از انجایی که مجموع
${0,1}^{\mathbb N}$
کانتور مفروض هست بنابرین $A$ نیز کانتور میباشد.
