فکر کنم منظور شما از c مجموعه ی کانتور باشد که از حذف بازه های یک سوم مانی از مجموعه ی [0,1] به وجود می آید.
در اینصورت نشان می دهیم که card(C)=card([0,1]) :
می دانیم که هر عدد x\in [0,1] دارای بسط سه سه ای به صورت x=\sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha_i}{3^n} است که \alpha_i\in\{0,1,2\} .
اما بنابر تعریف مجموعه ی کانتور می دانیم
x\in C اگر و تنها اگر x=\sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha_i}{3^n} که \alpha_i \in\{0,2\} .
یعنی مجموعه کانتور عبارت است از نقاطی در بازه [0,1] که بسط آن عدد در پتیه 3 فقط از صفر و دو تشکیل شده است.(چرا؟)
در اینصورت تابع f:C\to [0,1] را به صورت f(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\frac{\alpha_i}2}{2^n}
در اینصورت چون \alpha_i\in\{0,2\} لذا \frac{\alpha_i}2\in\{0,1\} . اما به وضوح این تابع پوشا است(چرا؟) پس card(C)\geq card([0,1]) .
از طرفی چون C\subset [0,1] لذا card(C)\leq card([0,1]) .
بنابراین ثابت کردیم card(C)=card([0,1]) وحکم ثابت است.
