به ازای هر$ x \in [a,b]$ داریم $a \leq x \leq b $ پس برای هر
$ n$ خواهیم داشت $ a- \frac{1}{n}< a \leq x \leq b < b+ \frac{1}{n} $ یعنی $ x \in (a- \frac{1}{n} , b + \frac{1}{n}) $ واین بدین معنی است که $x \in \bigcap_1^ \infty (a- \frac{1}{n} , b + \frac{1}{n}) $
پس $$[a,b] \subseteq \bigcap_1^ \infty (a- \frac{1}{n} , b + \frac{1}{n}) $$
حال نشان میدهیم اگر $ x \notin [a,b]$ آنگاه $x \notin \bigcap_1^ \infty (a- \frac{1}{n} , b + \frac{1}{n}) $ و این اثبات را کامل میکند(عکس نقیض برعکس رابطه اثبات شده)
فرض کنید $x < a $ پس $ 0< a-x $ لذا یک $ n_0 $ وجود دارد که $ \frac{1}{n_0} < a-x $ واین یعنی $ x < a- \frac{1}{n_0}$ پس $x \notin (a- \frac{1}{n_0} , b + \frac{1}{n_0})$ و این حکم را ثابت میکند برای $ b < x $ به طور مشابه عمل میکنیم.
برای رابطه ی دوم برای هر $x \in (a,b) $ یعنی $a < x < b$، از اینکه $ a < x \Rightarrow 0< x-a$ یک $ n_0 $ وجود دارد که برای هر $n > n_0 $ داریم:
$$ \frac{1}{n} < x-a \Rightarrow a+ \frac{1}{n} < x $$
از اینکه $x < b \Rightarrow 0 < b-x $ یک$ n_1 $ وجود دارد که برای هر $n > n_1 $ داریم
$$\frac{1}{n} < b-x \Rightarrow x < b-\frac{1}{n} $$
پس برای $n> max \{n_1,n_0 \} $ داریم:
$ a+ \frac{1}{n} < x < b-\frac{1}{n} $
و این یعنی $(a,b) \subseteq \bigcup_1^ \infty [a+ \frac{1}{n} , b- \frac{1}{n}] $
برای برعکس از عکس نقیض استفاده می کنیم نشان میدهیم که اگر $ x \notin (a,b)$ آنگاه داریم $ x \notin \bigcup_1^ \infty [a+ \frac{1}{n} , b- \frac{1}{n}] $
فرض کنید $ x \leq a$ پس برای هر $ n $ داریم $x \leq a< a + \frac{1}{n} $ و این یعنی $ x \notin [a+ \frac{1}{n} , b- \frac{1}{n}] $ و حکم ثابت شد.
حالت $ b \leq x $ به طور مشابه است.
