فرض کنید $A=\{(a, b]:a< b\}$ در اینصورت نشان می دهیم که سیگما جبر تولید شده توسط این گردایه( یعنی $\sigma(A)$) برابر است با سیگماجبر بورل (یعنی $\mathcal B_\mathbb R$ ).
می دانیم که سیگماجبر بورل توسط گردایه مجموعه های باز( که با $\mathcal O$ نمایش میدیم) تولید می شود.
چون
$$(a, b]=\bigcap_1^\infty(a, b+\frac 1n)$$
یعنی هر مجموعه ی $(a, b]$ را می توان به صورت اشتراک شمارا از مجموعه های باز نوشت پس $A\subset \mathcal O$ و لذا $\sigma(A)\subset \sigma(\mathcal O)=\mathcal B_\mathbb R$ .
اط طرف دیگر سیگما جبر $\sigma(A)$ شامل بازه های باز $(a, b)$ است زیرا $$(a, b)=\bigcup_1^\infty (a, b-\frac 1n]$$
و این یعنی $\mathcal O\subset \sigma(A)$ بنابراین $\mathcal B_\mathbb R=\sigma(O)\subset \sigma(\sigma(A))=\sigma(A)$
برای بعدی هم میتونید به طور مشابه عمل کنید؟
