به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
876 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

نشان دهید جبر برل توسط گرآیه ای از بازه های نیم باز $ (a,b] $ تولید میشود همچنین توسط گردآیه ای از نیم خط های $ \lbrace x \in R:x > a\rbrace $

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina

فرض کنید $A=\{(a, b]:a< b\}$ در اینصورت نشان می دهیم که سیگما جبر تولید شده توسط این گردایه( یعنی $\sigma(A)$) برابر است با سیگماجبر بورل (یعنی $\mathcal B_\mathbb R$ ).

می دانیم که سیگماجبر بورل توسط گردایه مجموعه های باز( که با $\mathcal O$ نمایش میدیم) تولید می شود.

چون $$(a, b]=\bigcap_1^\infty(a, b+\frac 1n)$$ یعنی هر مجموعه ی $(a, b]$ را می توان به صورت اشتراک شمارا از مجموعه های باز نوشت پس $A\subset \mathcal O$ و لذا $\sigma(A)\subset \sigma(\mathcal O)=\mathcal B_\mathbb R$ .

اط طرف دیگر سیگما جبر $\sigma(A)$ شامل بازه های باز $(a, b)$ است زیرا $$(a, b)=\bigcup_1^\infty (a, b-\frac 1n]$$ و این یعنی $\mathcal O\subset \sigma(A)$ بنابراین $\mathcal B_\mathbb R=\sigma(O)\subset \sigma(\sigma(A))=\sigma(A)$

برای بعدی هم میتونید به طور مشابه عمل کنید؟

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...