اولا توجه کنید که مجموعه اعداد گنگ $\mathbb Q^c$ ک مجموعه $G_\delta$ است زیرا $\mathbb Q= \lbrace q_1,q_2,\cdots\rbrace $ در اینصورت $\mathbb Q^c=(\bigcup_{k=1}^\infty \lbrace q_k\rbrace )^c=\bigcap _{k=1}^\infty\lbrace q_k\rbrace ^c$ و توجه کنید که همه ی $ \lbrace q_k\rbrace^c $ ها در $\mathbb R$ چگال هم هستند.
حال فرض کنید مجموعه اعداد گویا یک مجموعه $G_\delta$ باشد. یعنی $\mathbb Q=\bigcap_1^\infty G_k$ که $G_k$ ها مجموعه هایی باز هستند.
در اینصورت به ازای هر $ k $ داریم $\mathbb Q\subset G_k$ و لذا $G_k$ ها در $\mathbb R$ چگال هستند.
در اینصورت $\mathbb Q^c\bigcap \mathbb Q$ به صورت اشتراک شمارایی از مجموعه های باز چگال در $\mathbb R$ هستند که از قضیه کاتگوری بئر نتیجه می شود که باید چگال باشد. این درحالی است که $ \mathbb Q^c\bigcap \mathbb Q=\emptyset $ می دانیم که چگال نیست و به تناقض رسیدیم.
قضیه کاتگوری بئر: اگر $(X,\tau)$ یک فضای توپولوژیک کامل، هاسدورف و موضعا فشرده باشد و $ \lbrace G_k\rbrace $ گردایه ای شمارا از مجموعه های باز چگال در $X$ باشد در اینصورت $\bigcap G_k$ نیز در $X$ چگال است.
مرجع:https://en.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4_set
