نشان دهید اعداد گویا یک مجموعه $G_\delta$ نیست.

Question

سلام

نشان دهید $\mathbb Q$ یک $G _\delta$ در $\mathbb R$ نیست.

با تشکر

Answer 1

اولا توجه کنید که مجموعه اعداد گنگ $\mathbb Q^c$ ک مجموعه $G_\delta$ است زیرا $\mathbb Q= \lbrace q_1,q_2,\cdots\rbrace$ در اینصورت $\mathbb Q^c=(\bigcup_{k=1}^\infty \lbrace q_k\rbrace )^c=\bigcap _{k=1}^\infty\lbrace q_k\rbrace ^c$ و توجه کنید که همه ی $\lbrace q_k\rbrace^c$ ها در $\mathbb R$ چگال هم هستند.

حال فرض کنید مجموعه اعداد گویا یک مجموعه $G_\delta$ باشد. یعنی $\mathbb Q=\bigcap_1^\infty G_k$ که $G_k$ ها مجموعه هایی باز هستند.

در اینصورت به ازای هر $k$ داریم $\mathbb Q\subset G_k$ و لذا $G_k$ ها در $\mathbb R$ چگال هستند.

در اینصورت $\mathbb Q^c\bigcap \mathbb Q$ به صورت اشتراک شمارایی از مجموعه های باز چگال در $\mathbb R$ هستند که از قضیه کاتگوری بئر نتیجه می شود که باید چگال باشد. این درحالی است که $\mathbb Q^c\bigcap \mathbb Q=\emptyset$ می دانیم که چگال نیست و به تناقض رسیدیم.

قضیه کاتگوری بئر: اگر $(X,\tau)$ یک فضای توپولوژیک کامل، هاسدورف و موضعا فشرده باشد و $\lbrace G_k\rbrace$ گردایه ای شمارا از مجموعه های باز چگال در $X$ باشد در اینصورت $\bigcap G_k$ نیز در $X$ چگال است.

مرجع:https://en.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4_set

Comments

بسیار سپاس از اینکه متعهدانه ارائه پاسخ کردید. کاری که از من براتون برات نمیاد جز اینکه به نیابت از شما دعای سلامتی امام زمان (عج) رو بخونم.