Question

نشان دهید در R هر زیر مجموعه باز، اجتماع شمارایی از بازه های باز است. برای اثبات به کتاب آپوستول هم مراجعه کردم. آیا از قضیه ی خاصی باید استفاده کرد؟!

Answer 1

از متن سوال اینطور دریافت می کنم که توپولوژی اقلیدسی مد نظره.با این فرض شروع می کنم:

فرض کنید که $O$ مجموعه ای باز در $R^n$ باشد.پس برای هر $x \in O$ عددی حقیقی و مثبت مانند $r_x$ وجود دارد که:

$B(x,r) \subseteq O$. ($B(x,r_x)=x \in R^n | \mid \mid y-x \mid \mid < r$) .

حالا برای هر $r_x$ می توان عدد گویای $t_x$ را چنان انتخاب کرد که $t_x< r_x$.(مثلن ارشمیدس به ما میگه که عددی طبیعی مانند $n_x$ وجود دارد که $\frac{1}{n_x} < r_x$ ).بنابراین:

$x \in B(x,t_x) \subseteq O \Rightarrow O= \cup _{x \in O}B(x,t_x)$

حالا با توجه به اینکه مجموعۀ اعداد گویا شماراست و در $R$ داریم: $B(x,r)=(x-r,x+r)$ ،حکم ثابت است.

$\Box$