فکر کنم منظور شما از $c$ مجموعه ی کانتور باشد که از حذف بازه های یک سوم مانی از مجموعه ی $[0,1]$ به وجود می آید.
در اینصورت نشان می دهیم که $card(C)=card([0,1])$ :
می دانیم که هر عدد $x\in [0,1]$ دارای بسط سه سه ای به صورت $x=\sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha_i}{3^n}$ است که $\alpha_i\in\{0,1,2\}$ .
اما بنابر تعریف مجموعه ی کانتور می دانیم
$x\in C$ اگر و تنها اگر $ x=\sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha_i}{3^n}$ که $\alpha_i \in\{0,2\}$ .
یعنی مجموعه کانتور عبارت است از نقاطی در بازه $[0,1]$ که بسط آن عدد در پتیه $3$ فقط از صفر و دو تشکیل شده است.(چرا؟)
در اینصورت تابع $f:C\to [0,1]$ را به صورت $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\frac{\alpha_i}2}{2^n}$
در اینصورت چون $\alpha_i\in\{0,2\}$ لذا $\frac{\alpha_i}2\in\{0,1\}$ . اما به وضوح این تابع پوشا است(چرا؟) پس $card(C)\geq card([0,1])$ .
از طرفی چون $C\subset [0,1]$ لذا $card(C)\leq card([0,1])$ .
بنابراین ثابت کردیم $card(C)=card([0,1])$ وحکم ثابت است.
