صفر یک نقطه حدی مجموعه $A=\mathbb R\setminus \left(\{\frac 1k:k\in\mathbb Z\}\cup\{0\}\right)$ است

Question

سلام ثابت کنید که $x=0$ یک نقطه حدی مجموعه $$A=\mathbb R\setminus \left(\{\frac 1k:k\in\mathbb Z\}\cup\{0\}\right)$$
است .

خیلی ممنون .

Comments

من که نمیدونم منظورتون از این مجموعه چی هست!
منظورتون اینه که صفر و $\frac 1k$ ها رو از مجموعه اعداد حقیقی جدا کردیم؟

---

@fardina
بله . یعنی تو مجموعه نه صفر هست و نه یک کا ام .

---

من براتون ویرایش کردم.

Answer 1

برای اینکه نشان دهیم $0$ نقطه ی حدی مجموعه ای مثل $A\subset \mathbb R$ است باید نشان دهیم به ازای هر $r>0$ داریم $\left(B(0, r)\cap A\right)-\{0\}\neq \emptyset$

حال فرض کنید $r >0$ دلخواه باشد در اینصورت همسایگی صفر $B(0,r)=(-r,r)$ شامل عددی گنگ مثل $q$ است و واضح است که $q\in A$ زیرا $q\neq 0$ و $q$ به صورت $\frac 1k$ نیست پس $$q\in \left(B(0,r)\cap A\right)-\{0\}$$ یعنی $ \left(B(x, r)\cap A\right)-\{0\}\neq \emptyset $