به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
109 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ailin (37 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

وارون ماتریس زیر را بدست آورید.

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 \\2 & 4 & -3\\1 & -2& 0\end{bmatrix}$$

با سلام

من برای این ماتریس هر چی می نویسم نمی تونم وارونش بدست بیارم مطمعنم وارون داره چون دترمینانش مخالف صفر هست برای وارونش می دونم که باید ماتریس همانی رو سمت راستش بنویسم و با اعمال سطری مقدماتی ماتریس سمت چپ رو تبدیل به ماتریس همانی کنم اما هر چی می نویسم روی قطر اصلی سطر دوم و سوم صفر میشه اگه هم یک باشه وقتی بقیه قسمتا رو صفر می کنم باز صفر میشه

نمی دونم چطور حلش کنم. ممنون میشم راهنماییم کنید

توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
+1
@ailin شاید نوشتن ماتریس‌ها برای همهٔ مرحله‌ها برایتان زمان‌بَر باشد ولی به جایش می‌توانید مرحله‌هایی که انجام دادید را فهرست کنید تا دوستان برایتان بگویند در کدام مرحله اشتباه می‌کنید. برای نمونه مثل زیر بنویسید:
۱- دو برابر سطر یکُم را از سطر دوم کاسته و به جای سطر دوم می‌گذاریم.
۲- سطر دوم را در منفی یک ضرب کرده و به جای سطر دوم می‌گذاریم.
...
تا آخرین گامی که انجام دادید و سپس ماتریس نهایی‌ای که بدست آوردید در دو سمت را بنویسید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)

مطمئن با «ئ» نوشته می‌شود نه با «ع»! اگر به تلاش خودتان درست اشاره می‌کردید، یعنی اینکه محاسبه‌هایتان را گذاشته‌بودید، همان روز پاسخ می‌گرفتید و دقیقا به اشتباهی که در محاسبه‌تان انجام دادید اشاره می‌شد. به جای امتیاز منفی هم امتیاز مثبت می‌گرفتید. چند دقیقه زمان بیشتر گذاشتن می‌تواند ۶ ماه در پاسخ‌گرفتن‌تان تفاوت ایجاد کند!

به هر حال. این پرسش واقعا چیز خاصی ندارد و اگر سر کلاس خوب گوش کرده‌باشید یا کتاب مرجع درس را می‌خواندید و یک مثال را مو به مو یاد می‌گرفتید، این پرسش را هم می‌توانستید حل کنید. صرفا ممکن است در جمع و ضرب اشتباه کنید که با یک بار از نو چک کردن رفع می‌شود.

به یاد آورید که یک روش برای یافتنِ وارونِ یک ماتریسِ مربعی این بود که به انتهای ماتریس یک ماتریس همانی از مرتبهٔ یکسان ملحق می‌کردیم و هر عمل سطری‌مقدماتی که بر روی ماتریسِ اصلی انجام می‌دهیم را روی ماتریسِ کمکی هم پیاده می‌کنیم. این عمل‌ها را ادامه می‌دهیم تا ماتریس سمت چپ (ماتریس اصلی) به ماتریس همانی تبدیل شود. در این مرحله، چیزی که در سمت راست بوجود آمده‌است، ماتریسِ وارونی است که به دنبالش بودیم. در زیر منظور از $r_i$ ستونِ $i$اُم است. بنابراین منظور از مثلا $r_2+(-2)r_1\to r_2$ این است که سطر دوم را با حاصلِ جمعِ سطر دوم با منفیِ دو برابرِ سطر یکُم جایگزین می‌کنیم. می‌توانید آن را اینگونه بخوانید که «سطرِ دوم بعلاوهٔ منفیِ دو برابرِ سطرِ یکُم برود به جای سطرِ دوم».

\begin{align} \left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 4 & -3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] &\xrightarrow{r_2+(-2)r_1\to r_2} \left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\\ &\xrightarrow{r_3+(-1)r_1\to r_3} \left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]\\ &\xrightarrow{r_3 \longleftrightarrow r_2\qquad} \left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right]\\ &\xrightarrow{(\frac{-1}{4}r_2\to r_2\quad\;} \left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right]\\ &\xrightarrow{r_1+(-2)r_2\to r_1} \left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right]\\ &\xrightarrow{(-1)r_3\to r_3\quad} \left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right]\\ &\xrightarrow{r_1+(\frac{1}{2})r_3\to r_1} \left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right]\\ &\xrightarrow{r_2+(\frac{1}{4})r_3\to r_2} \left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right] \end{align}

اگر شک دارید می‌توانید ضرب زیر را انجام دهید تا مطمئن شوید که ماتریس بدست‌آمده واقعا وارونِ ماتریس اولیه است.

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1\\ 2 & 4 & -3\\ 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...