آیا $M_2(\mathbb{R})=\lbrace\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\mid a,b,c,d\in\mathbb{R}\rbrace$ با ضرب معمولی ماتریس ها یک گروه است؟

Question

می‌خواهم عبارت زیر را اثبات کنم.

• مجموعهٔ $M_2(\mathbb{R})=\lbrace\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}\mid a,b,c,d\in\mathbb{R}\rbrace$ تحت ضرب معمولی ماتریس ها یک گروه است.

تلاش خودم: من ۴ خاصیت گروه رو بررسی کردم. برای بسته بودن که قطعا بسته هست چون درهر ماتریس دیگه ای هم که ضرب بشه باز هم عضو $R$ هست. برای شرکت پذیری هم که ماتریس های مربعی $m=n$ شرکت پذیر هستند. و برای وجود عنصر همانی هم که همان ماتریس همانی ۲×۲ هست. و برای وارون هم نوشتم وارون پذیر هست. چون که دترمینان وارون پذیر هست. برای وارون شک دارم. ممنون می شوم راهنمایی ام کنید.

Comments

@M.SH درست بیان کردن خیلی مهم است. «چون در هر ماتریسی ضرب شود عضو $\mathbb{R}$ است» جملهٔ درستی نیست. ابتدا اینکه شما پیش از این جمله از کل مجموعهٔ ماتریس‌های دو در دو صحبت کردید و نه یک ماتریس، پس وقتی در این جمله می‌گوئید «در هر ماتریسی ضرب شود» یعنی مجموعهٔ ماتریس‌ها (یک مجموعه) را در یک ماتریس می‌خواهید ضرب کنید! ولی نیت شما ضرب مجموعه در ماتریس نبوده. نیت شما این بوده که هر دو ماتریس را که در هم ضرب کنید فلان... . و گفتن «در هر ماتریسی» هم درست نیست، بلکه در هر ماتریس عضو این مجموعه، و گر نه یک ماتریس عضو این مجموعه را مثلا در یک ماتریس ۳ در ۳ هم می‌توانید ضرب کنید؟ و در آخر ضرب دو ماتریس عضو این مجموعه، یک ماتریس می‌شود نه یک عدد که عضو مجموعهٔ اعداد حقیقی شود. احتمالا می‌خواستید بگوئید که ضرب دو ماتریس از این مجموعه یک ماتریس ۲ در ۲ با درایه‌های حقیقی می‌شود. جمله‌های بعدی هم چند ایراد دارند. به نظرم یک ویرایش انجام دهید.
و اما پاسخ شما، کجا دیدید که گفته باشد $M_2(\mathbb{R})$ گروه است؟ «نوشتم وارون‌پذیر هست» یعنی چه؟ چه چیزی وارون‌پذیر است و چرا وارون‌پذیر است؟ ماتریس ۲ در ۲ با همهٔ درایه‌ها به غیر از یکی صفر باشد نیز یک عضو از این مجموعه‌است، نه؟ آیا این ماتریس وارون‌پذیر است؟

Answer 1

مجموعهٔ $M_2(\mathbb{R})=\lbrace\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\mid a,b,c,d\in\mathbb{R}\rbrace$ مجموعهٔ همهٔ ماتریس‌های دو در دویِ حقیقی‌مقدار است نه فقط ماتریس‌های وارون‌پذیرِ دو در دو، پس با عملِ ضربِ ماتریسی یک گروه نمی‌شود. خیلی راحت ماتریسِ دو در دویی که همهٔ درایه‌هایش صفر است را در نظر بگیرید، چه ماتریسی می‌شود یافت که در آن ضرب شود و حاصل برابر با ماتریس همانی شود؟ هیچ چنین ماتریسی وجود ندارد، چون ضرب این ماتریس در هر ماتریسی دوباره خودش (با همهٔ درایه‌های برابر با صفر) می‌شود که ماتریس همانی نیست. پس این عضو دارای وارون نیست.