چگونه دستور `FindSequenceFunction` در نرم افزار Mathematica جمله عمومی برای دنبالهٔ $a,\,a,\,a+b,\,a+b,\,a+2b,\,a+2b,\cdots$ را محاسبه میکند؟

Question

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

دنباله‌ای داریم با فرم جملات:

$$a,a,(a+b),(a+b),(a+2b),(a+2b),(a+3b),(a+3b),...$$

جملهٔ عمومی این دنبالهٔ را با استفاده از دستور FindSequenceFunction در نرم افزار Mathematica محاسبهٔ می‌کنیم...نرم افزار به ما جملهٔ‌عمومی زیر را می‌دهد:

$$ \frac{1}{4} (-1)^{n} (4 (-1)^{n} a-b-3 (-1)^{n} b+2 (-1)^{n} bn)$$

اما پرسش اصلی من این است که نرم افزار چگونه این‌ جملهٔ عمومی را محاسبهٔ می‌کند؟آیا می‌توان این جملهٔ عمومی را اثبات کرد؟

با تشکر.

---

این پرسش مرتبط با پاسخ زیر است:

https://math.irancircle.com/17931/#a17955

Answer 1

یکی از فرمول‌های جمله عمومی این دنباله که ساده ترین فرمول است این است: $$x_n=a+[\frac{n-1}{2}]b $$ که در آن منظور از کروشه، همان جزء صحیح عبارت داخل کروشه است.

اما راه حل منطقی برای بدست آوردن جمله عمومی این دنباله این است که یک فرمولی برای جمله های فرد ویک فرمول برای جمله های زوج بدست بیاوریم وسپس جمله عمومی دنباله به صورت زیر میشود: $$ x_n=\left\lbrace \begin{array}{ll} \text{فرمول اول}&\ \text{برای اِن‌های فرد} \\ \text{فرمول دوم} & \ \text{برای اِن‌های زوج} \end{array}\right. $$ حال اگر به دنباله داده شده دقت کنیم، ضریب $b$ در جمله‌های فرد به صورت زیر است: $$ \begin{array}{lr} \text{جمله اول}& 0\\ \text{جمله سوم} & 1\\ \text{جمله پنجم} & 2\\ \vdots & \ \\ \text{جمله اِن-ام}&\frac{n-1}{2} \end{array} $$ و ضریب $b$ در جمله های زوج به صورت زیر است: $$ \begin{array}{lr} \text{جمله دوم}& 0\\ \text{جمله چهارم} & 1\\ \text{جمله ششم} & 2\\ \vdots & \ \\ \text{جمله اِن-ام}&\frac{n}{2}-1 \end{array} $$ بنابراین جمله عمومی این دنباله به صورت زیر است: $$ x_n=\left\lbrace \begin{array}{ll} a+b(\frac{n-1}{2})&\ \text{برای اِن‌های فرد} \\ a+b(\frac{n}{2}-1) & \ \text{برای اِن‌های زوج} \end{array}\right. $$ حال ممکن است برای کسی سوالی پیش بیاید که چگونه میتوانیم این جمله عمومی دنباله را به صورت تک فرمولی بنویسیم. یک راه حل این است که سعی کنیم ابتدا دو فرمول را خیلی شبیه هم بنویسیم! بصورت زیر: $$ x_n=\left\lbrace \begin{array}{ll} a+b(\frac{n}{2})-b(\frac{1}{2^1})&\ \text{برای اِن‌های فرد} \\ a+b(\frac{n}{2})-b(\frac{1}{2^0}) & \ \text{برای اِن‌های زوج} \end{array}\right. $$ حال اگر دقت کنیم میبینیم که جمله عمومی را بصورت تک فرمولی به صورت زیر میتوانیم بنویسیمش: $$x_n=a+b(\frac{n}{2})-b(\frac{1}{2^{[\frac{n+1}{2}]-[\frac{n}{2}]}}). $$

اما برای اثبات فرمولی که نرم افزار گفته، ابتدا $n$ را زوج میگیریم ، بدست می آوریم: $$\frac{1}{4}(4a-b-3b+2b(n))= a-b+\frac{b}{2}n $$ وهمانطور که می بینید این فرمول برای جمله های زوج درست است. اگرهم در فرمول نرم افزار، $n$ را فرد بگیریم، بدست می آوریم: $$\frac{-1}{4}(-4a-b+3b-2bn)=a-\frac{b}{2}+\frac{b}{2}n $$ واین فرمول هم برای عدد های فرد صحیح است.

Comments

@mdgi این فرمولی که شما نوشتید اشتباهه.

---

@Amirmza@
متشکرم  درستش کردم

Answer 2

کاری که نرم‌افزار Mathematica بوسیلهٔ FindSequenceFunction انجام می‌‌دهد همان کاری است که نرم‌افزار Maple با ترکیب دو دستورِ listtorec و rsolve انجام می‌دهد. برای خواندن در مورد این دو دستور در نرم‌افزار Maple به این پست سر بزنید (اینجا کلیک کنید). یعنی ابتدا با کمک الگوریتمی تلاش می‌کند ساده‌ترین (از دید الگوریتم پیاده‌شده) رابطهٔ بازگشتی را برای یک دنباله که چند جملهٔ شروعش با چند جملهٔ داده‌شده بوسیلهٔ شما یکسان باشد را بیابد، سپس بوسیلهٔ الگوریتم‌های موجود یک تابعِ explicit برای جمله عمومی دنباله‌تان با کمک رابطهٔ بازگشتی‌ای که یافته‌است محاسبه کند. بیاییم با نرم‌افزار Maple همین مسألهٔ شما را در دو ضرب انجام بدهیم تا ببینید که گام پنهان در نرم‌افزار Mathematica چه بوده‌است.

with(gfun):
mysequence:=listtorec([a,a,a+b,a+b,a+2*b,a+2*b,a+3*b,a+3*b],f(n));
rsolve(mysequence[1],f(n));

بازنویسی خروجی‌ها به ترتیب در زیر آمده‌اند (ابتدا رابطهٔ بازگشتی و سپس جمله عمومیِ یک‌ضرب).

$$\begin{array}{l} \begin{array}{llll} f_{n+3}=f_{n+2}+f_{n+1}-f_n, & f_0=a, & f_1=a, & f_2=a+b \end{array}\\ f_n=a-\frac{3b}{4}+\frac{b(-1)^n}{4}+\frac{b(n+1)}{2} \end{array}$$

همانطور که می‌بینید همان خروجی‌است که نرم‌افزار Mathematica به شما داده‌است با این تفاوت که در خروجیِ شما $\frac{(-1)^n}{4}$ فاکتور گرفته‌شده‌است.